2. a) Die für die Zulassung der staatsrechtlichen Beschwerde wegen Verletzung von Art. 4 BV vorausgesetzte Letztinstanzlichkeit des angefochtenen Entscheides (Art. 87 OG) ist vorliegend gegeben; das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht hat mit Entscheid vom 25. April 1972 den vom Beschwerdeführer gleichzeitig erhobenen Rekurs als unzulässig erklärt und ist darauf nicht eingetreten.

b) Nach Art. 88 OG steht das Recht zur Beschwerdeführung Bürgern (Privaten) und Korporationen bezüglich solcher Rechtsverletzungen zu, die sie durch allgemein verbindliche oder sie persönlich treffende Erlasse oder Verfügungen erlitten haben. Wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte i.S. von Art. 84 OG kann somit Beschwerde erheben, wer in seiner Rechtsstellung betroffen ist, mit andern Worten ein rechtlich erhebliches Interesse geltend zu machen vermag. Zur Verfolgung bloss tatsächlicher Interessen oder zur Wahrung allgemeiner öffentlicher Interessen ist die staatsrechtliche Beschwerde nicht gegeben (BGE 86 I 284, BGE 93 I 174, BGE 96 I 626 f. je mit Verweisungen). Ob der Beschwerdeführer ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von Art. 88 OG hat und mithin zur Beschwerde legitimiert ist, ergibt sich aus der Natur der Rechtsnorm, deren Verletzung er geltend macht. Ein solches Interesse ist dann gegeben, wenn die in Frage stehenden Vorschriften zum Schutze der einzelnen Bürger aufgestellt sind bzw. ihnen einen Rechtsanspruch einräumen, nicht aber, wenn sie bloss organisatorischer Natur, also nur im öffentlichen Interesse aufgestellt worden sind (BGE 96 I 626 mit Verweisungen).

Der Beschwerdeführer anerkennt selbst, keinen Anspruch auf eine Wahl zum Direktor des Gewerbemuseums zu haben. Er glaubt jedoch, ein rechtliches Interesse im Sinne von Art. 88 OG zu besitzen, weil er als Bewerber um die genannte Stelle einen Anspruch darauf habe, dass das Wahlverfahren nach den gesetzlichen Vorschriften erfolge. Das ist nicht richtig. Art. 5 GMG, der vorschreibt, dass der Leiter des Gewerbemuseums vom Erziehungsrat zu wählen ist und der Regierungsrat die Wahl zu genehmigen hat, ist nicht zum Schutze der Bewerber aufgestellt. Der Zweck dieser Vorschrift ist vielmehr, ein der Bedeutung dieser Stelle angemessenes Ausleseverfahren zu sichern. Das aber liegt allein im öffentlichen Interesse. Auch wenn der Kreis der Bewerber wohl in höherem Masse als die übrigen Bürger am Vorgehen der Behörde bei der Besetzung der Stelle interessiert ist, so handelt es sich dabei um ein bloss tatsächliches Interesse (vgl. die nicht publizierten Urteile des Bundesgerichts vom 3. Dezember 1969 i.S. N. und vom 26. Oktober 1971 i.S. C.). Der Beschwerdeführer ist auch dadurch nicht in seiner Rechtsstellung betroffen, dass der Regierungsrat sich bei der Wahl des Gustav Kyburz nicht an den in der Ausschreibung festgelegten Rahmen hielt, in welchem die Qualifikation des Direktors des Gewerbemuseums sich zu bewegen hat. Wenn, wie der Beschwerdeführer meint, andere Interessenten sich von einer Bewerbung um die Stelle abhalten liessen, weil sie den in der Ausschreibung gestellten Anforderungen nicht genügten, so ist er dadurch weder in seinen rechtlichen noch tatsächlichen Verhältnissen berührt. Auch sein Vorbringen, er hätte im Falle der Nichtigerklärung der Wahl von Gustav Kyburz neben den verbleibenden andern Bewerbern Aussicht, gewählt zu werden, verweist wohl auf sein tatsächliches Interesse an der Sache, nicht aber auf ein rechtliches Interesse, welches nur bestünde, wenn er einen Anspruch hätte, gewählt zu werden. Die Vorschriften, welche bestimmte Qualifikationen für eine Stelle verlangen - seien sie gesetzlich festgelegt oder nicht - dienen nicht dem Schutze der Bewerber, sondern verfolgen den ausschliesslich im öffentlichen Interesse stehenden Zweck, dass eine Stelle nur von Leuten mit bestimmten Fähigkeiten besetzt wird. Der Beschwerdeführer ist daher nicht legitimiert, die von ihm behaupteten Rechtsverletzungen geltend zu machen. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:

Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.