A.- Die am 20. September 1978 geborene C., Tochter eines in Mailand wohnhaften iranischen Staatsangehörigen, litt seit ihrer Geburt an einem schweren Herzfehler, der verschiedene Spitalaufenthalte und Operationen in Mailand und Zürich nötig machte. Am 9. November 1981 kam es im Universitätsspital Zürich unter der Leitung von Professor X. zu einer dritten Operation. Im Verlauf dieses Eingriffs wurde eine Coronararterie durchtrennt und sodann eine Kanüle der Herz-Lungen-Maschine versehentlich in die Arteria pulmonalis statt in die Aorta eingeführt. Weil das angeblich erst nach 15 Minuten festgestellt wurde, kam es zu einer ungenügenden Blutversorgung des Gehirns und einer schweren Hirnschädigung, weshalb das Kind heute dauernd invalid und pflegebedürftig ist.

B.- Gestützt auf das zürcherische Gesetz über die Haftung des Staates und der Gemeinden sowie ihrer Behörden und Beamten vom 14. September 1969 (Haftungsgesetz, HG) erhob C. am 29. Januar 1986 beim Bundesgericht Klage gegen den Kanton Zürich, nachdem sie am 27. Oktober 1983 beim Regierungsrat erfolglos Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche angemeldet hatte. Sie beantragt, den Beklagten zu verpflichten, ihr als Schadenersatz und Genugtuung einen Fr. 8'000.-- übersteigenden, nach richterlichem Ermessen festzusetzenden Betrag sowie 5% Zins seit 9. November 1981 zu bezahlen. Der Beklagte beantragte in der Klageantwort vom 28. Mai 1986 Abweisung der Klage, weil das Haftungsgesetz nicht anwendbar und er daher nicht passivlegitimiert sei sowie weil es an einer widerrechtlichen und schuldhaften Handlung im Sinn des Haftungsgesetzes fehle. Der Klägerin wurde zur Frage der Passivlegitimation des Beklagten das Replikrecht eingeräumt (Art. 32 Abs. 2 BZP), wovon sie am 25. Juni 1986 Gebrauch machte. Am 25. September 1986 fand die Vorbereitungsverhandlung statt. Dabei wurde auf Wunsch des Beklagten eine Beschränkung der Hauptverhandlung auf die Frage der Passivlegitimation in Aussicht genommen. An der heutigen Hauptverhandlung bekräftigte der Beklagte seinen Antrag, auf die Klage sei mangels Passivlegitimation nicht einzutreten, während die Klägerin ihrerseits daran festhielt, dass der Beklagte passivlegitimiert sei.

1. Die Zuständigkeit des Bundesgerichts ist gegeben und unbestritten. Das gilt auch insoweit, als die Klage sich auf das kantonale Haftungsgesetz stützt (BGE 111 II 150 mit Hinweisen).

Die Klägerin fordert einen unbestimmten, Fr. 8'000.-- übersteigenden Gesamtbetrag; der Beklagte hat dagegen nichts einzuwenden. Das Gesetz verlangt, dass die Klageschrift das Rechtsbegehren enthält, ohne die Anforderungen an dieses zu umschreiben (Art. 23 lit. b BZP). Zwar müssen im Berufungsverfahren vor Bundesgericht bezifferte Berufungsanträge gestellt werden (Art. 55 Abs. 1 lit. b OG; vgl. BGE 101 II 373 mit Hinweisen); doch kann das nicht auch für Direktprozesse gelten. Es ist vielmehr ein Grundsatz des materiellen Bundesrechts, dass in Fällen, wo sich ein Schaden nicht oder nur schwer ziffernmässig nachweisen lässt, vom Geschädigten zwar verlangt werden darf, dass er Anhaltspunkte für den Schaden liefert, nicht aber dass er den Schaden genau beziffert (BGE 98 II 36 E. 2, 97 II 218 mit Hinweisen). Im Bereich des Zumutbaren ist die Klägerin dieser Auflage nachgekommen. So hat sie für die Vergangenheit ziffernmässig einen Schaden von rund Fr. 300'000.-- näher begründet und eine Genugtuung von Fr. 75'000.-- bis 150'000.-- geltend gemacht. Sie hat überdies den hinsichtlich der Zuständigkeit erforderlichen Mindestbetrag genannt (dazu BGE 77 II 187 E. 10). Im übrigen wird sie zu einer genaueren Bezifferung angehalten werden können, wenn die Beweisergebnisse vorliegen.

2. Der Beklagte bestreitet zu Recht nicht mehr, für Vorkommnisse im Universitätsspital Zürich grundsätzlich nach Massgabe des Haftungsgesetzes einstehen zu müssen, sofern der Schaden auf die amtliche Tätigkeit der Spitalärzte zurückzuführen ist (BGE 111 II 151 E. 3 und 4). Er macht jedoch geltend, es gehe vorliegend um die privatärztliche, nicht um die amtliche Tätigkeit von Professor X., weil die Klägerin dessen Privatpatientin gewesen sei und seine persönliche Verrichtung in Frage stehe; nach der Verordnung über die kantonalen Krankenhäuser (KHV) vom 28. Januar 1981 unterstehe das Verhältnis der Privatpatienten zu den Ärzten dem Privatrecht (§ 36 Abs. 3 KHV). Die Klägerin hält diese Verordnungsbestimmung für nichtig, weil sie sowohl dem materiellen Bundesrecht wie dem kantonalen Haftungsgesetz zuwiderlaufe.

a) In BGE 111 II 153 ff. E. 5, auf den beide Parteien in diesem Zusammenhang verweisen, ging es um den Privatpatienten eines andern Chefarztes des Universitätsspitals Zürich, der durch einen Oberarzt einen ambulanten Eingriff vornehmen liess. Anhand der Krankenhausverordnung stellte das Bundesgericht fest, dass die Privatarztbewilligung der Chefärzte nur deren persönliche Verrichtungen erfasse (§ 30 Abs. 2 KHV); da es damals an diesem Erfordernis fehlte, konnte offengelassen werden, wieweit im übrigen nach der kantonalen Ordnung die Behandlung von Privatpatienten als amtliche oder als private ärztliche Tätigkeit einzustufen wäre (BGE 111 II 155 E. 5d). Die Frage braucht auch vorliegend nicht abschliessend behandelt zu werden.

b) Es trifft nämlich nicht zu, dass es vorliegend nur um die unrichtige Kanülierung als persönliche Verrichtung Professor X.'s ginge. Die Klägerin macht den Beklagten sowohl für die Verletzung der Kranzarterie, als auch für die Fehlkanülierung und schliesslich dafür verantwortlich, dass dieser Fehler und die dadurch bewirkte ungenügende Blutversorgung des Gehirns erst nach 15 Minuten entdeckt und behoben worden seien. An der Operation seien insgesamt fünf Ärzte beteiligt gewesen, wobei für die Unterbrechung der Sauerstoffversorgung des Gehirns, die entscheidend gewesen sei, unmittelbar nicht der Chefarzt, sondern ein Anästhesist verantwortlich gewesen sei. Insoweit fehlt es bereits an den tatsächlichen Voraussetzungen für die Annahme einer Schädigung aus privatärztlicher Tätigkeit im Sinn von § 36 Abs. 3 KHV.

c) Die eigenartige Rechtsnorm der privatärztlichen Tätigkeit von Chefärzten an öffentlichen Spitälern hat offenkundig besoldungsrechtliche Gründe (vgl. dazu BGE 100 Ia 316 ff. sowie das auszugsweise in ZBl 87/1986, S. 265 ff. veröffentlichte Urteil des Bundesgerichts vom 18. Oktober 1985 zu § 30 bzw. § 30a KHV; im gleichen Sinn der Antrag des Regierungsrats vom 23. April 1986 für einen neuen § 39a des kantonalen Gesundheitsgesetzes, wonach den leitenden Spitalärzten bewilligt werden kann, "Patienten auf eigene Rechnung zu behandeln" [Amtsblatt 1986 S. 706]). Das schliesst nicht aus, dass die allgemeine Fassung von § 36 Abs. 3 KHV, wonach das Verhältnis der Privatpatienten zu den Ärzten dem Privatrecht untersteht, auch haftpflichtrechtlich zu verstehen wäre. Darin läge jedoch ein Abweichen vom Grundsatz, dass das Haftungsgesetz auf die öffentlichen Spitäler anwendbar ist und damit auch auf die Spitalärzte, die in einem öffentlichrechtlichen Dienstverhältnis stehen (BGE 111 II 151 E. 3). Die Verordnungsbestimmung darf nicht zu einer Aushöhlung des Haftungsgesetzes in diesem Bereich führen. Das wäre indes der Fall, wenn Schädigungen, für welche ein ganzes Spitalteam verantwortlich gemacht wird, wegen angeblich privatärztlicher Tätigkeit des Chefarztes der Staatshaftung entzogen würden.

Aber selbst wenn - anders als vorliegend - im vornherein feststünde, dass nur der Chefarzt für einen Operationsfehler einzustehen hätte, würde das für den Ausschluss des Haftungsgesetzes nicht genügen. Dem geschädigten Patienten oder seinen Hinterbliebenen ist es - wie die Klägerin zutreffend bemerkt - in der Regel nicht möglich, den Handlungsanteil der verschiedenen an einer Operation beteiligten Personen festzustellen, was einer einheitlichen Rechtsregel ruft. Die komplizierte Rechtslage, welche der Beklagte aus Rücksicht auf die Honorarbedürfnisse der Chefärzte geschaffen hat, darf nicht haftungsrechtlich zu einer Regelung führen, die für die Geschädigten völlig undurchsichtig ist. Das gilt gerade auch für ausländische Patienten. § 36 Abs. 3 KHV muss deshalb in dem Sinn einschränkend ausgelegt werden, dass er am öffentlichrechtlichen Haftungsverhältnis nichts ändert.

Da sich dies schon aus dem massgeblichen kantonalen Recht ergibt (vgl. dazu BGE 102 II 45 f. und BGE 82 II 321 ff.), kann dahingestellt bleiben, ob eine gegenteilige Auslegung des kantonalen Rechts überhaupt vor Bundesprivatrecht Bestand hätte. Es kann auch offenbleiben, wieweit allenfalls die Behandlung von ambulanten Patienten in der dem Chefarzt bewilligten Sprechstunde oder seine Gutachtentätigkeit vom kantonalen Haftungsgesetz ausgenommen werden kann. Für hospitalisierte (stationäre) Patienten, die mit dem Spitaleintritt ohnehin in ein öffentlichrechtliches Verhältnis zum Spital treten (BGE 111 II 154 E. 5a mit Hinweisen), schiene eine solche Differenzierung mit dem Sinn des kantonalen Haftungsgesetzes nicht vereinbar (zugunsten einer Unterstellung unter öffentliches Recht auch SCHLUEP, Innominatverträge, in Schweizerisches Privatrecht VII/2, S. 943; SCHWARZENBACH, Die Staats- und Beamtenhaftung in der Schweiz mit Kommentar zum zürcherischen Haftungsgesetz, 2. Aufl., S. 118 und 177; BISCHOF, Amtshaftung an der Grenze zwischen öffentlichem Recht und Obligationenrecht [Art. 61 OR], ZSR 104/1985 I S. 81/82).

d) Der Beklagte kann sich daher der Beurteilung der Klage aufgrund des Haftungsgesetzes nicht entziehen, seine Passivlegitimation ist zu bejahen. Im übrigen ist anerkannt, dass die Klage in gültiger Weise erhoben worden und nicht verwirkt ist (§§ 23 und 24 HG).

Demnach beschliesst das Bundesgericht:

Es wird festgestellt, dass die Passivlegitimation des Beklagten gegeben ist.