A.- Le 8 octobre 1956, l'enfant Z. introduisit une action en recherche de paternité contre X., qui était domicilié à Tannay (district de Nyon, cercle de Coppet). Elle le cita en conciliation devant le Juge de paix de Coppet, puis déposa la demande devant le Tribunal du district de Nyon. Par réponse du 28 février 1957, X. conclut au rejet de l'action. Il quitta ensuite son domicile de Tannay, sans indiquer de nouvelle adresse au tribunal. Il fut assigné par voie édictale à comparaître à l'audience de jugement. Il ne s'y présenta pas. Statuant par défaut le 22 décembre 1959, le tribunal le condamna à payer une pension à l'enfant. Ce jugement, communiqué à X. par voie édictale, fut déclaré définitif et exécutoire dès le 20 janvier 1960.

B.- Le 19 mars 1963, l'Office des mineurs de Homburg-Saar, tuteur de Z., fit notifier à X. un commandement de payer la somme de 5850 fr. plus intérêts dès le 1er août 1958, représentant la pension alimentaire demeurée non payée. X., alors domicilié à Genève, fit opposition totale. Le 4 avril 1963, le Tribunal de première instance de Genève, se fondant sur le jugement du 22 décembre 1959, prononça la mainlevée définitive de cette opposition. Il considéra que X., qui avait excipé de l'incompétence du Tribunal de Nyon, devait être débouté de cette exception et qu'il ne s'était prévalu d'aucune irrégularité dans la notification du jugement.

X. interjeta appel à la Cour de justice contre le prononcé de mainlevée définitive. Il fit valoir que le jugement du 22 décembre 1959 lui avait été signifié d'une façon irrégulière, qu'il était dépourvu par conséquent de force exécutoire et qu'il faisait du reste l'objet d'un recours en nullité devant le Tribunal cantonal vaudois.

Le 10 mai 1963, la Cour de justice rejeta cet appel par le motif que le recours en nullité formé par X. devant les autorités vaudoises n'avait pas d'effet suspensif et que, partant, l'Office des mineurs restait au bénéfice de la déclaration concernant la force exécutoire du jugement du 22 décembre 1959.

C.- Agissant par la voie du recours de droit public, X. requiert le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Cour de justice. Il se plaint de diverses violations de l'art. 4 Cst.

La Cour de justice et l'Office des mineurs concluent au rejet du recours.

1. Selon une jurisprudence de la juridiction cantonale, que le recourant ne critique d'aucune manière, la Cour de justice, saisie, comme en l'espèce, d'un appel fondé sur l'art. 339 lettre c PC gen., n'examine que les violations de la loi alléguées dans la requête d'appel. La requête d'appel déposée par le recourant critiquait exclusivement la signification irrégulière et le défaut de force exécutoire du jugement rendu le 22 décembre 1959. C'est de ce seul moyen, soulevé dans le recours de droit public, que le Tribunal fédéral peut s'occuper aujourd'hui. Les autres griefs allégués par X. et tirés du fait qu'il n'a pas été assigné régulièrement à l'audience de jugement lors du procès en paternité et qu'un délai aurait dû lui être accordé pour examiner le jugement du 22 décembre 1959, n'ont pas été invoqués dans la requête d'appel, alors qu'ils auraient pu l'être. Ils sont dès lors nouveaux et, comme tels, irrecevables, puisqu'il s'agit d'un recours supposant l'épuisement des moyens de droit cantonal (RO 87 I 178 consid. 3). Pour la même raison, les pièces produites avec le recours de droit public seulement ne sauraient être prises en considération en vue d'établir le caractère arbitraire de l'arrêt attaqué.

2. Selon le recourant, la Cour cantonale est tombée dans l'arbitraire en reconnaissant force exécutoire au jugement du 22 décembre 1959, alors que ce dernier n'avait pas été signifié d'une manière régulière. Toutefois, cette question de signification concernait le caractère exécutoire du jugement lui-même. Elle ne se rapportait pas à l'une des exceptions (compétence, assignation, représentation) que l'art. 81 al. 2 LP accorde à l'opposant. Or, il s'agissait d'un jugement rendu par un tribunal ordinaire d'un autre canton. Pour savoir si un tel jugement était définitif et exécutoire, la juridiction genevoise pouvait, sans arbitraire, s'en tenir à la déclaration d'exécuter régulièrement inscrite sur le jugement par le greffier du tribunal qui avait statué, conformément à l'art. 590 PC vaud. Elle n'était pas tenue, en vertu de l'art. 4 Cst., de contrôler la manière dont les autorités vaudoises avaient appliqué leur propre procédure. Le recourant est d'autant moins fondé à se plaindre qu'après avoir participé à la procédure écrite devant le Tribunal de Nyon, il a quitté son domicile sans laisser d'adresse à cette autorité. Il doit dès lors s'en prendre à lui-même si la juridiction vaudoise lui a signifié le jugement par la voie édictale, sans se livrer à des recherches étendues.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral

Rejette le recours en tant qu'il est recevable.