A.- Frau X. hat am 3. März 1967 von Gilbert Maria Podmaniczky ein Gemälde, darstellend "Madonna mit Kind", zum Preise von DM 300'000.-- erworben. Mitgeliefert wurden drei Gutachten von Prof. Leo van Puyvelde vom 1. Mai 1951, Prof. Hermann Voss vom 2. August 1962 und Prof. Kurt Gerstenberg vom 8. August 1962. Jedes dieser Gutachten befand sich handschriftlich auf der Rückseite einer Schwarzweissphoto des Gemäldes. Sie bestätigten alle, das begutachtete Bild sei ein eigenhändiges Werk von Peter Paul Rubens.

Das Gemälde stammte aus dem Besitz von Y., der es mit den erwähnten Gutachten unmittelbar vorher, Ende Februar/Anfang März 1967, dem Münchner Kunsthändler Alexander Gebhardt für DM 35'000.-- verkauft hatte.

B.- Am 7. Oktober 1967 liess Frau X. durch ihren Anwalt bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau Strafanzeige gegen Y. wegen Urkundenfälschung und Betrug erstatten, weil das von ihr als echt erworbene Gemälde eine Fälschung sei. Sie beschuldigte Y., das echte Werk und eine Kopie davon besessen zu haben. Von der Kopie habe er Schwarzweissphotos herstellen lassen. Es sei ihm gelungen, den Gutachtern, die das echte Werk begutachtet hatten, für die Erstellung ihres Gutachtens die Photos der Kopie zu unterschieben. Das gefälschte Bild habe er mit den auf diese Art und Weise arglistig beschafften Gutachten, die sich auf das Original beziehen, aber sich auf der Rückseite von Photos des gefälschten Gemäldes befinden, zu ihrer Täuschung und Schädigung in Verkehr gebracht. Von dem Kaufpreis, den sie bezahlt habe, habe Y. etwa DM 40'000.-- erhalten. Es sei deshalb anzunehmen, dass Y. vom sichern Boden der Schweiz aus, möglicherweise als Schlüsselfigur, gewerbsmässig mit einer Bande von Kunstfälschern in Deutschland zusammenarbeite.

Zur Begründung dieser Beschuldigung liess Frau X. in der Strafanzeige ausführen, sie habe vom erworbenen Bild eine Farbphotographie aufnehmen lassen und diese dem sachverständigen Gerstenberg unterbreitet. In seiner eidesstattlichen Versicherung vom 16. Juni 1967 habe dieser daraufhin erklärt, die Farbphoto stelle mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit nicht das von ihm am 8. August 1962 expertisierte Gemälde von Rubens dar. Nach Besichtigung des in ihrem Besitze befindlichen Bildes in St. Gallen habe Prof. Gerstenberg schliesslich in einer eidesstattlichen Erklärung vom 27. Juni 1967 bestätigt, dieses sei mit dem von ihm am 8. August 1962 begutachteten Originalgemälde von Rubens nicht identisch.

Am gleichen Tage, da er zuhanden von Frau X. seine eidesstattliche Versicherung vom 16. Juni 1967 abgab, unterzeichnete Prof. Gerstenberg eine ihm von Podmaniczky und einem gewissen Dr. Schön vorgelegte Bestätigung, wonach es doch möglich sei, dass die ihm vorgelegte Farbphoto das von ihm begutachtete Original wiedergebe, er sich aber durch die Farben der Photographie geirrt habe. Am 17. Juni 1967 sandte Prof. Gerstenberg Frau X. die Kopie dieser am Vortage unterzeichneten und mit seiner eidesstattlichen Versicherung vom 16. Juni 1967 nicht im Einklang stehenden Bestätigung. Diese war mit einer vom 17. Juni 1967 datierten Widerrufserklärung versehen, gemäss welcher er seine Bestätigung vom 16. Juni 1967 widerrufe und bei seiner Erklärung verbleibe, dass er in der ihm vorgelegten Farbphoto nicht das Gemälde erkennen könne, das er am 3. August 1962 begutachtet habe. In der Strafanzeige wurden diese Bestätigung Gerstenbergs vom 16. Juni 1967 und ihr Widerruf vom 17. Juni 1967 nicht erwähnt.

C.- Die Strafuntersuchung gegen Y. wurde vom Verhörrichteramt des Kantons Thurgau durchgeführt. Sie wurde, entsprechend dem Antrag des Verhörrichteramtes und der Staatsanwaltschaft, mit Entscheid der Anklagekammer vom 12. November 1969/9. Januar 1970 eingestellt. Die Untersuchungskosten von Fr. 2'187.75 wurden der Verzeigerin, Frau X., auferlegt, weil diese die Anzeige in leichtfertiger und mutwilliger Weise erhoben habe.

Gegen die Auferlegung der Untersuchungskosten beschwerte sich Frau X. beim Obergericht des Kantons Thurgau. Dieses wies die Beschwerde mit Beschluss vom 4. Juni 1970 ab, weil die Anzeige ausschliesslich gestützt auf die widersprüchlichen Gutachten Gerstenbergs und somit leichtfertig und mutwillig erstattet worden sei.

D.- Gegen diesen Entscheid des Obergerichts hat Frau X. staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 4 BV erhoben mit dem Antrag, ihn aufzuheben. Die Begründung der Beschwerde ergibt sich, soweit wesentlich, aus den nachstehenden Erwägungen.

E.- Das Obergericht, die Anklagekammer und die Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau sowie Y. beantragen die Abweisung der Beschwerde.

1. (Legitimation).

2. a) (Verbot neuer Vorbringen; 94 I 144).

b) Der Beschwerdegegner Y. hat mit seinen Gegenbemerkungen zur Beschwerde eine Anzahl neuer Akten eingereicht. Er verlangt, diese vertraulich zu behandeln und sie der Beschwerdeführerin nicht zu öffnen. Würde diesem Begehren entsprochen und nähme das Gericht darin Einsicht, so würde ihm bekannt, was einer Prozesspartei, der Beschwerdeführerin, unbekannt bleibt. Dem Entscheid Akten zu Grunde zu legen, zu denen die Beschwerdeführerin keine Stellung beziehen konnte, käme einer Gehörsverweigerung gleich. Eine vertrauliche Aktenentgegennahme kann nur ganz ausnahmsweise in Kauf genommen werden, und zwar im Interesse des grundsätzlich Einsichtsberechtigten, um richterlich überprüfen zu können, ob diesem Einsichtsrecht zu Recht berechtigte und schützenswerte Geheimhaltungsinteressen entgegengehalten werden (BGE 95 I 109). Ein solcher seltener Ausnahmefall liegt nicht vor und wird auch nicht geltend gemacht. Diese "vertraulichen Akten" sind deshalb aus dem Recht zu weisen, und die darauf bezüglichen Ausführungen in der Beschwerdeantwort sind nicht zu beachten. Die Nichtbeachtung dieser neuen Vorbringen und Akten folgt überdies aus dem Verbot neuer Vorbringen.

3. Die Untersuchung wurde als kriminelle Untersuchung im Sinne des Gesetzes über das Geschworenengericht vom 24. März 1852 (GGG) geführt. Die für die Einstellung der Untersuchung massgebenden §§ 83-85 GGG sehen keine Kostenauflage an den Verzeiger vor. Das Obergericht hat seinen Kostenentscheid auf § 84 GGG in Verbindung mit § 31 lit. a der auf korrektionelle Straffälle anwendbaren Strafprozessordnung vom 26. November 1867 gestützt. Darnach können bei Einstellung der Untersuchung "die ergangenen Kosten teilweise oder ganz dem Denunzianten oder dem Angeklagten oder beiden" auferlegt werden. Wie das Obergericht ausführt, werden nach ständiger Praxis dem Verzeiger die Kosten dann überbunden, wenn er in leichtfertiger und mutwilliger Weise Strafanzeige erhoben hat.

Die Beschwerdeführerin betrachtet die Anwendung von § 31 lit. a StPO in Verbindung mit § 84 GGG als "fragwürdig", macht aber deswegen weder eine Verletzung kantonalen Verfahrensrechtes noch eine Verletzung von Art. 4 BV geltend. Sie anerkennt vielmehr, dass nach ständiger thurgauischer Rechtsprechung auch bei Einstellung einer kriminellen Untersuchung die Kostenauflage an den Anzeiger möglich ist, sofern dieser in verwerflicher, leichtfertiger oder mutwilliger Weise Strafanzeige erstattet hat. Nach ihrer Auffassung hat das Obergericht ihr aber willkürlich Leichtfertigkeit bei der Erstattung der Strafanzeige vorgeworfen und deshalb mit der Kostenüberbindung Art. 4 BV verletzt.

4. Das Obergericht wirft der Beschwerdeführerin deshalb Leichtfertigkeit und Mutwilligkeit vor, weil sie ihre Beschuldigungen in der Strafanzeige ausschliesslich auf die Gutachten und Erklärungen Gerstenbergs gestützt habe, während diese widersprüchlichen Äusserungen Gerstenbergs, insbesondere seine nur schwer verständliche Handlungsweise am 16./17. Juni 1967, zu besonderer Vorsicht hätten Anlass geben müssen und zusätzliche Abklärungen erfordert hätten. Die Beschwerdeführerin wendet ein, diese Auffassung sei willkürlich, weil aktenwidrig. Die Rüge ist unbegründet.

a) Die Anzeige gegen Y. beruht auf der Annahme, der Beschwerdeführerin sei nicht das von den Experten Puyvelde, Voss und Gerstenberg begutachtete Gemälde, sondern eine Kopie davon geliefert worden. Diese Annahme stützte die Beschwerdeführerin in ihrer Strafanzeige auf die beiden eidesstattlichen Erklärungen Gerstenbergs vom 16. Juni 1967 und 17. Juni 1967, wonach die ihm vorgelegte Farbphotographie mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit nicht das von ihm am 8. August 1962 expertisierte Gemälde von Rubens darstelle und wonach das ihm in St. Gallen gezeigte Bild mit absoluter Sicherheit nicht mit dem von ihm begutachteten Bild identisch sei. Insoweit kann somit von einer aktenwidrigen Annahme des Obergerichtes keine Rede sein.

b) Diese beiden eidesstattlichen Erklärungen Gerstenbergs waren an sich geeignet, Zweifel an der Identität des von der Beschwerdeführerin erworbenen mit dem von Gerstenberg begutachteten Gemälde zu wecken. Das Verhalten Gerstenbergs vom 16./17. Juni 1967 andererseits musste diese Zweifel erschüttern. Denn die abweichend von der eidesstattlichen Versicherung vom 16. Juni 1967 gleichentags abgegebene Bestätigung, die Farbphotographie stelle möglicherweise doch das von ihm begutachtete Gemälde dar, und der am nächsten Tag erfolgte Widerruf dieser Bestätigung verrieten die Unsicherheit Gerstenbergs und die Unzuverlässigkeit seiner verschiedenen, widersprüchlichen Beurteilungen. Es fällt denn auch auf und ist offensichtlich nicht einem Versehen zuzuschreiben, dass die Beschwerdeführerin diese Bestätigung Gerstenbergs vom 16. Juni 1967 und deren Widerruf in der Strafanzeige verschwiegen hat. Das Obergericht verfiel deshalb nicht in Willkür mit seiner sachlich vertretbaren Auffassung, wenn ein namhafter Gelehrter seine Meinung so oft ändere, Erklärungen abgebe und diese kurz darauf widerrufe, so hätte für die Beschwerdeführerin Anlass zu besonderer Vorsicht bestanden und zusätzliche Abklärungen wären absolut unerlässlich gewesen. Frei von Willkür ist auch die obergerichtliche Feststellung, entsprechende Untersuchungen seien unterblieben. Denn die Strafanzeige enthält keine Angaben über derartige Untersuchungen, die der Abklärung der widersprüchlichen Äusserungen Gerstenbergs dienten und dessen These von der Nichtidentität des begutachteten und des der Beschwerdeführerin gelieferten Bildes stützen sollten.

c) Diese Nichtidentität, selbst wenn sie festgestanden wäre oder von der Beschwerdeführerin gutgläubig hätte angenommen werden dürfen, vermochte zudem für sich allein die Verzeigung des Y. wegen Betruges und Urkundenfälschung nicht zu rechtfertigen, da mit ihr allein weder die Tatbestandsmerkmale des einen noch des anderen Deliktes erfüllt waren. Die Beschwerdeführerin erhob deshalb auch die weiteren Beschuldigungen, Y. habe sich die auf das Original beziehenden Gutachten arglistig beschafft und zusammen mit der Fälschung zu ihrer Täuschung und Schädigung in Verkehr gebracht, weshalb anzunehmen sei, dass er - möglicherweise als Schlüsselfigur - gewerbsmässig mit einer Bande von Kunstfälschern zusammen arbeite.

Keine dieser Beschuldigungen konnte sich auf die Äusserungen Gerstenbergs stützen, die sich ausschliesslich auf die Identität des von ihm begutachteten mit dem von der Beschwerdeführerin erworbenen Gemälde bezogen, ohne sich mit der Frage des Zustandekommens der Gutachten oder des Inverkehrbringens des der Beschwerdeführerin verkauften Bildes samt Gutachten zu befassen. Andere Unterlagen für diese Beschuldigungen hat die Beschwerdeführerin in der Strafanzeige nicht vorgebracht. Sie entbehrten somit jeder Grundlage und beruhten auf haltlosen Verdächtigungen. Darin liegt ein prozessuales Verschulden, also ein zu missbilligendes Verhalten (ROBERT KEHL in ZStr. 64 (1949) S. 387 f., vgl. ZR 64 Nr. 51 S. 87 mit Literaturverweisungen, BGE 84 I 16). Angesichts dieser Umstände durfte das Obergericht ohne Willkür der Beschwerdeführerin die Untersuchungskosten wegen leichtfertiger und mutwilliger Anzeigeerstattung auferlegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:

Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.