A.- Dunand exploite à Genève une agence immobilière, où il s'occupe en particulier de gérances d'immeubles. Le 30 juin 1953, il offrit à Bogliano, parmi plusieurs autres - et pour le prix de 135 000 fr. - un immeuble sis au no 12 de la rue Royaume, propriété de la Société immobilière Royaga SA L'offre précisait: "Cet immeuble ne peut être vendu que pour autant qu'un engagement de régie nous soit consenti". Après différentes tractations qui portèrent notamment sur la convention relative à la gérance et d'où il ressort que Bogliano agissait pour un tiers, la vente fut conclue le 2 février 1954. Elle porta sur les actions de Royaga SA Une assemblée de cette société, tenue le même jour et présidée par Bogliano, entérina la démission de Dunand comme administrateur et appela Bogliano aux fonctions de seul administrateur engageant la société par sa signature individuelle. Le procès-verbal porte en outre: "A l'unanimité l'assemblée prie son Président de conclure la convention de régie dont il vient de lui être donné lecture, avec la Régie Dunand". Après cette assemblée, Dunand et Bogliano signèrent cette convention, par laquelle Royaga SA confiait à Dunand la gérance de l'immeuble sis au no 12 de la rue Royaume "pour une durée de dix ans, à dater du 1er février mil neuf cent cinquante-quatre, aux conditions énoncées dans le tarif de l'Association professionnelle des gérants d'immeubles de Genève". Il était spécifié que les actionnaires de Royaga SA souscrivaient à la convention "pour s'engager à l'imposer aux acquéreurs futurs des actions de ladite société". L'art. 5 avait la teneur suivante:

"En cas de retrait de la gérance de l'immeuble de l'Agence immobilière Dunand avant le 31 décembre 1963, une indemnité lui serait versée à la reddition du dossier, égale à la commission de régie prise sur l'état locatif plein de l'immeuble rénové, multipliée par le nombre d'années restant à courir jusqu'au 31 décembre 1963."

Le 16 juillet 1955, Bogliano, en sa qualité d'administrateur de Royaga SA, écrivit à Dunand dans les termes suivants:

"Je vous avais indiqué que la Société immobilière Royaga cherchait à conclure un emprunt second rang; je vous avais demandé d'examiner la possibilité de trouver dans votre clientèle l'occasion d'effectuer un placement de cette nature. Vous m'avez répondu que vous n'aviez rien en vue et que de toute manière il vous était impossible de faire quoi que ce soit dans la situation actuelle.

Par l'intermédiaire de la Régie Bordier, j'ai pu trouver le second rang recherché. Mais la condition posée au prêt hypothécaire serait que la Régie Bordier ait la régie de l'immeuble.

Je n'ignore pas que le 2 février 1954 la S.I. Royaga a conclu avec vous un contrat de Régie de dix ans.

Or, renseignement pris, j'apprends qu'un contrat de régie - s'il n'est pas accompagné d'une prestation spéciale, tel qu'un prêt par exemple - est résiliable en tout temps et sans indemnité. Il paraît qu'un semblable contrat constitue un contrat de mandat, dont l'essence même est la faculté, pour chaque partie, de pouvoir, en tout temps, le résilier.

Dans ces conditions, je me vois dans l'obligation de dénoncer le contrat de régie et de vous prier de transmettre tous les documents à la Régie Bordier, rue du Vieux Collège, 8, à Genève, pour que celle-ci puisse reprendre la suite de cette affaire.

Croyez bien que je regrette cette décision; j'avais, d'ailleurs, eu l'impression que vous ne vous intéressiez pas aux soucis qui sont les miens."

Le 21 juillet 1955, Dunand répondit que pour trouver des fonds la gérance avait besoin de connaître quelles garanties représenterait l'immeuble rénové: rendement locatif fixé par le contrôle des prix, montant et conditions de l'emprunt en premier rang. Pourvu qu'on lui fournisse ces précisions, Dunand se déclarait prêt à procurer à Royaga SA les fonds dont elle avait besoin. Il rappelait ensuite qu'il n'avait accepté de vendre ses actions que moyennant un accord lui réservant la gérance de l'immeuble et informait son correspondant qu'en cas de résiliation du contrat du 2 février 1954, il réclamerait une indemnité de 8909 fr. de par l'art. 5 dudit contrat.

Le 22 juillet 1955, Bogliano répondit brièvement qu'il ne servirait à rien de discuter, qu'il n'entendait pas revenir sur sa décision et il ajoutait: "Veuillez croire que ce n'est pas de gaîté de coeur que j'agis ainsi; j'eusse de beaucoup préféré continuer à entretenir les bons rapports que nous avions ébauchés. Cela s'avère impossible."

B.- Le 29 septembre 1955, Dunand actionna Royaga SA devant le Tribunal de première instance de Genève en paiement de 8909 fr. avec 5% d'intérêts à compter du 16 juillet 1955. Le 29 mai 1956, le tribunal admit la demande, en bref par les motifs suivants:

Il s'agit en l'espèce d'un contrat mixte, qui présente certaines caractéristiques du mandat et du contrat d'entreprise, mais où les rapports de confiance sont si importants que l'art. 404 CO s'applique. Royaga SA était fondée à résilier le contrat du 2 février 1954, mais elle l'a fait en temps inopportun, ce qui l'oblige à payer des dommagesintérêts. La jurisprudence admet du reste certaines conventions sur ce point, pourvu que l'indemnité fixée ne soit pas excessive et que la résiliation n'ait pas été causée par la faute de celui qui s'en plaint. En l'espèce, Dunand n'a point commis de faute. L'art. 5 de la convention du 2 février 1954 contient une clause pénale; la peine, selon l'art. 161 CO, est due même si aucun dommage n'est prouvé. Elle n'est d'ailleurs pas excessive, de sorte qu'il n'y a pas lieu de la réduire.

C.- Statuant, le 21 mai 1957, sur appel de Royaga SA, la Cour de justice de Genève débouta Dunand de sa demande. Les motifs de son arrêt se résument comme il suit:

Il s'agit, en l'espèce, non pas d'un contrat d'entreprise, mais d'un mandat, qui, selon l'art. 404 CO, disposition de droit strict, était révocable en tout temps. Comme clause pénale liant les parties pour dix ans, l'art. 5 du contrat du 2 février 1954 est donc nul. Supposé même que la résiliation fût intervenue en temps inopportun, l'art. 404 al. 2 CO ne conférerait en tout cas au demandeur que le droit au remboursement des frais exposés en vue de l'exécution. Or, le demandeur ne réclame rien à ce titre. Il conclut au paiement du gain manqué, lequel n'est jamais dû en matière de mandat. "Le fait, d'ailleurs non démontré, que l'intimé aurait vendu l'immeuble en cause sous condition d'obtenir la gérance de celui-ci pour dix ans, ne saurait avoir pour effet de donner à la convention de régie, soit plus précisément à son art. 5, une validité que la loi conteste impérativement dès l'instant que le contrat doit s'interpréter comme un mandat."

D.- Contre cet arrêt, Dunand a formé un recours en réforme. Il conclut à ce qu'il plaise au Tribunal fédéral condamner l'intimée à payer au recourant la somme de 8909 fr., la condamner en outre à payer tous frais et dépens aussi bien des instances cantonales que de l'instance fédérale.

E.- L'intimée conclut au rejet du recours.

1. Comme l'a admis la Cour de justice, le contrat relatif à la gérance d'immeubles, conclu le 2 février 1954, ne constitue pas un contrat d'entreprise. Dans un tel contrat, l'une des parties s'engage à exécuter un ouvrage (art. 363 CO), c'est-à-dire à procurer à l'autre partie, par son travail et sous sa propre responsabilité, un certain résultat matériel ou immatériel, mais objectivement constatable. C'est partant de cette définition large de l'ouvrage visé par l'art. 363 CO que le Tribunal fédéral a rangé dans la catégorie du contrat d'entreprise le contrat d'insertion d'annonces (RO 59 II 261 ss.), et que l'on peut y ranger le contrat par lequel un fournisseur de courant électrique s'oblige à éclairer certaines rues ou à chauffer certains locaux (RO 48 II 370 ss.). Cependant, lorsque, comme en l'espèce, l'une des parties s'engage envers l'autre à gérer un immeuble, elle ne s'oblige qu'à fournir une certaine activité avec une certaine diligence, non pas un certain résultat que l'on pourrait considérer comme un ouvrage.

Il ne s'agit pas non plus d'un mandat proprement dit, parce que le contrat portant sur la gérance d'un immeuble, qu'il soit ou non conclu pour une durée certaine, est en tout cas limité, non pas par l'accomplissement de la tâche qu'assume le mandataire, mais bien par l'écoulement du temps. De ce point de vue donc et sauf le cas où les parties l'ont d'emblée conçu comme un accord de nature purement passagère et portant sur certaines opérations déterminées, il se présente soit comme un contrat de travail, soit comme un contrat sui generis qui, ayant pour objet l'exécution d'un certain travail, serait en principe soumis aux règles du mandat (art. 394 al. 2 CO).

Point n'est besoin cependant de rechercher laquelle de ces deux possibilités est donnée en l'espèce. Que ce soit l'une ou l'autre, la résiliation anticipée du contrat tout au moins ne pouvait avoir lieu que selon les règles spéciales au contrat de travail (art. 352 ss. CO). Car les principes qui régissent la révocation du mandat (art. 404 CO) ne sauraient s'appliquer à un contrat qui, comme celui dont l'objet est la gérance d'un immeuble, est conclu à temps. Il en va ainsi d'autant plus que, dans le contrat de gérance d'immeubles, chacune des parties a juridiquement un intérêt égal au maintien du contrat, l'une s'assurant le travail de l'autre, laquelle se fait promettre une rémunération.

C'est ainsi du reste que, bien avant la promulgation de la loi fédérale du 4 février 1949 sur le contrat d'agence (art. 418 a à 418 v CO), le Tribunal fédéral avait rangé ce type de convention au nombre des contrats sui generis soumis principalement aux règles du mandat; il appliquait toutefois les règles du contrat de travail à la résiliation pour de justes motifs lorsque les parties avaient entendu se lier pour un temps assez long (art. 352 CO; RO 29 II 104 ss.; 40 II 392; 54 II 380; 60 II 336; 78 II 36/7; BECKER, comm. ad art. 319, n. 27, ad art. 394, n. 8; OSER/SCHÖNENBERGER, comm. ad art. 319 CO, n. 36 i.f.). Sur ce dernier point, en particulier, la loi précitée a entériné la règle jurisprudentielle (art. 418 r CO). En l'absence d'une disposition légale, le Tribunal fédéral a du reste adopté la même solution, s'agissant du contrat de représentation exclusive conclu pour une durée prolongée (RO 60 II 335/6; cf. RO 78 II 33, 36/7; WEIL, Die vorzeitige Aufhebung des Alleinvertretungsvertrages, RSJ t. 32, 1935/6 p. 295/6).

2. Il faut dès lors examiner si, le 16 juillet 1955, la défenderesse avait de justes motifs de résilier sans délai, selon l'art. 352 CO, le contrat qu'elle avait conclu pour dix ans.

La question appelle manifestement la négative. Aucune circonstance, en particulier, n'autorisait la société Royaga à invoquer la moralité ou la bonne foi pour ne plus exécuter le contrat (art. 352 al. 2 CO). Elle ne prétend pas elle-même que, dans l'exercice de la gérance proprement dite, le demandeur ait violé en quoi que ce soit les devoirs que lui imposaient la convention, la loi ou les usages locaux; c'est bien plutôt le contraire qui ressortirait de sa lettre du 22 juillet 1955.

Comme dans sa lettre du 16 juillet 1955, elle y allègue uniquement que le demandeur ne lui a pas procuré l'emprunt hypothécaire en second rang qu'elle désirait souscrire. Mais elle ne s'est elle-même pas risquée à prétendre, dans les lettres précitées, que le demandeur se serait engagé à réaliser le simple voeu qu'elle avait exprimé sur ce point. Le contrat relatif à la gérance ni les autres pièces du dossier ne contiennent aucun indice d'une telle promesse. Aussi bien le Tribunal de première instance a-t-il expressément jugé qu'aucun engagement de ce genre n'a jamais existé et la Cour de justice ne l'a pas contredit. Supposé même que le demandeur eût promis de procurer les fonds et ne se fût pas exécuté, la défenderesse, avant de résilier le contrat, aurait dû tout au moins, d'une part, fournir à Dunand les renseignements indispensables pour la conclusion de l'emprunt projeté, renseignements qu'il avait demandés dans sa lettre du 21 juillet, d'autre part, l'interpeller formellement en lui rappelant son obligation, le mettre en demeure de l'exécuter et lui fixer un délai convenable pour ce faire.

C'est donc sans raisons que la défenderesse a résilié abruptement, après une année et demie, le contrat qui la liait pour dix ans au demandeur.

3. La défenderesse, par ce motif, doit en principe réparation du dommage qu'elle a ainsi causé. A l'art. 5 du contrat, les parties sont convenues que si la gérance de la maison était retirée à Dunand avant la fin du contrat, l'indemnité à verser serait égale au montant de la rétribution due pour la période restant à courir et calculée sur l'état locatif plein de l'immeuble rénové, selon le tarif des gérants d'immeubles genevois. Il s'agit donc là d'un gain manqué. Si l'on part d'un rendement locatif - pratiquement non contesté - de 23 292 fr. et que, selon le tarif, on calcule l'indemnité de gérance à 4 1/2% pendant huit ans et demi, on arrive à un dommage de 8909 fr., somme réclamée par le demandeur.

Le Tribunal de première instance a admis que l'art. 5 du contrat constituait une clause pénale. Il s'ensuivrait que le demandeur serait fondé à réclamer le montant susindiqué même s'il n'avait effectivement point subi de dommage (art. 161 al. 1 CO). Mais l'indemnité, en revanche, pourrait être réduite conformément à l'art. 163 al. 3 CO si elle paraissait excessive. Cependant, il s'agit en réalité non pas d'une clause pénale, mais, vu la nature de l'indemnité fixée, d'une clause par laquelle les parties sont convenues qu'en cas de rupture du contrat il y aurait lieu de payer le gain manqué.

Sont donc applicables les principes généraux qui régissent le calcul des dommages-intérêts en cas de rupture du contrat de travail. La perte de gain doit être remboursée (art. 353 CO), mais sous déduction de ce que le créancier a épargné en ne fournissant pas les services convenus, de ce qu'il a effectivement gagné par d'autres travaux et du gain auquel il a intentionnellement renoncé (art. 332 CO).

Il aurait appartenu à la défenderesse d'alléguer les causes de déduction et d'offrir les preuves nécessaires. Elle n'a rien entrepris à cet égard, et s'est contentée de conclure au déboutement. Cependant, il est conforme aux données de l'expérience commune qu'une certaine déduction se justifie. Effectivement, le demandeur peut occuper autrement le temps qu'il aurait dû consacrer à la gérance dont la défenderesse l'a privé. On ne sait quand il aurait trouvé une gérance équivalente ou analogue, mais on ne peut admettre qu'il serait demeuré sans remplacement pendant huit ans et demi, s'agissant d'un bureau déjà ancien et connu à Genève. Cependant, un tel bureau emploie du personnel permanent et a des frais fixes qui courent sans interruption jusqu'au remplacement d'une gérance perdue. Enfin, il est difficile de dire qu'une affaire tient lieu d'une autre et n'aurait pas pu s'y ajouter sans augmentation des frais fixes. La réduction, en définitive, ne peut être fixée qu'ex aequo et bono. La cour l'estime au tiers de la rétribution tarifée, vu aussi la gravité particulière du manque de parole dont Royaga SA s'est rendue coupable. Ce sont donc 6000 fr. en chiffre rond que la défenderesse doit au demandeur.

La solution, du reste, ne serait pas différente si l'on admettait que l'art. 5 du contrat du 2 février 1954 contient une clause pénale. Dans ce cas, en effet, il y aurait lieu de réduire, de par l'art. 163 al. 3 CO, le montant convenu, ce qui conduirait au même résultat que l'application de l'art. 332 CO.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral:

Admet le recours en ce sens que l'arrêt attaqué est réformé, la demande partiellement admise et la défenderesse condamnée à payer au demandeur 6000 fr. avec intérêts à 5% l'an à partir du 29 septembre 1955; rejette la demande pour le surplus.