A. A. SA est une société anonyme enregistrée au Luxembourg, où elle a son siège social; elle a une succursale à Genève, auparavant à Zurich, inscrite sur le registre du commerce. Elle se consacre surtout à la prise de participations dans d'autres entreprises. M. et N. ont assumé les fonctions d'administrateurs de la succursale et O. l'a représentée avec droit de signature individuelle.

B. SA, en liquidation, a son siège à Genève. M. et P. ont été ses administrateurs.

B. Le 5 décembre 2007, X. a ouvert action contre ces deux sociétés devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Elles devaient être condamnées à lui rendre compte du ou des mandats de gestion de biens que, selon ses allégations, elles avaient reçus de son défunt père, W.

Les défenderesses ont contesté les relations de mandat alléguées par la demanderesse; A. SA a excipé de l'incompétence à raison du lieu.

Le Tribunal de première instance a d'abord rejeté cette exception au motif qu'elle était tardive, puis la Cour de justice a annulé ce premier jugement.

Le tribunal s'est derechef prononcé sur l'exception d'incompétence le 1^er octobre 2009. Il l'a rejetée et s'est jugé compétent au regard des faits allégués dans la demande, dont la preuve devait être renvoyée à la suite de l'instance.

La Cour de justice a statué le 16 avril 2010 sur l'appel de la défenderesse; elle a confirmé le jugement.

C. Agissant par la voie du recours en matière civile, la défenderesse A. SA a requis le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Cour de justice et de prononcer que les tribunaux genevois sont incompétents. Des conclusions subsidiaires tendaient à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision.

La demanderesse a conclu principalement à l'irrecevabilité du recours et subsidiairement à son rejet.

Le Tribunal fédéral a rejeté le recours, dans la mesure où il était recevable.

4. En règle générale, selon la jurisprudence, le juge saisi doit examiner sa compétence sur la base des allégués, moyens et conclusions de la demande, sans tenir compte des objections de la partie défenderesse. Les faits déterminants pour la compétence, seulement, doivent être prouvés, s'ils sont contestés, avant une éventuelle décision séparée sur la compétence, tandis que la preuve des faits déterminants pour la compétence et pour le bien-fondé de l'action - faits doublement pertinents ou de double pertinence - est renvoyée à la suite de l'instance.

D'après certains arrêts du Tribunal fédéral, la preuve des faits doublements pertinents n'est ainsi différée que s'ils sont allégués "avec une certaine vraisemblance" (ATF 135 V 373 consid. 3.2 p. 377; ATF 133 III 282 consid. 3.2 p. 286; ATF 131 III 153 consid. 5.1 p. 157, consid. 6.4 p. 162; ATF 128 III 50 consid. 2b/aa; ATF 121 III 495 consid. 6d p. 503), tandis que d'autres arrêts ne mentionnent pas cette condition (ATF 134 III 27 consid. 6.2.1 p. 34; ATF 133 III 295 consid. 6.2 p. 298; ATF 122 III 249 consid. 3b/bb-cc p. 252; ATF 119 II 66). En doctrine, un auteur explique que ladite condition est étrangère à la théorie des faits de double pertinence à l'origine de la jurisprudence actuelle du Tribunal fédéral, issue du droit allemand, et qu'elle ne se justifie pas (URS HOFFMANN-NOWOTNY, Doppelrelevante Tatsachen in Zivilprozess und Schiedsverfahren, 2010, p. 120 n^os 190 et 191; voir aussi, également critique, ANDREAS BUCHER, L'examen de la compétence internationale par le juge suisse, 2007, SJ 2007 II 153 p. 158/159).

Dès ses premières décisions relatives au for des réclamations personnelles, alors garanti par l'art. 59 al. 1 aCst., le Tribunal fédéral a jugé que la compétence se détermine d'après la nature et le contenu de la demande, sans égard aux objections élevées contre elle, et cela même dans le cas où cette demande apparaîtrait d'emblée inconsistante (ATF 9 p. 30 consid. 1 et 2; voir aussi ATF 24 I 657 consid. 2 p. 660; 45 I 302 consid. 2 p. 307; 74 II 187 consid. 2 p. 188). Il a réservé l'éventualité où la demande serait présentée sous une forme destinée à en déguiser la nature véritable et à éluder la règle de for applicable (ATF 22 I 32 consid. 2 p. 37; 22 I 50 consid. 2 p. 58/59; 66 II 179 consid. 2 p. 183; voir aussi ATF 3 p. 626 consid. 3). Plus tard, dans une cause où la partie demanderesse cumulait deux actions, l'une d'elles est apparue manifestement mal fondée au regard d'un élément introduit par l'autre partie, incontesté et confirmé par le dossier; le Tribunal fédéral a alors admis que la règle de for régissant l'autre action se trouvait éludée (ATF 91 I 121 consid. 5 p. 122). Dans un arrêt de 2007, il a réservé l'éventualité d'allégués "manifestement faux" (ATF 134 III 27 consid. 6.4 in fine p. 37).

L'exigence d'une "certaine vraisemblance", selon le libellé de quelques arrêts du Tribunal fédéral, ne fait référence qu'à ces hypothèses exceptionnelles où la thèse de la demande apparaît d'emblée spécieuse ou incohérente, ou, sinon, se trouve réfutée immédiatement et sans équivoque par la réponse et les documents de la partie défenderesse. Cette exigence protège cette partie-ci, le cas échéant, contre une tentative abusive, qui procéderait d'un abus de droit, de l'attraire au for choisi par l'autre partie (sur l'interdiction de l'abus de droit au regard de la théorie des faits de double pertinence: HOFFMANN-NOWOTNY, op. cit., p. 124 n° 195, avec références à d'autres auteurs). Il demeure donc que même au degré de la simple vraisemblance, la preuve des faits doublement pertinents n'est pas requise au stade d'une décision séparée sur la compétence.

5. En l'espèce, la Cour de justice aurait donc pu se dispenser de rechercher s'il est vraisemblable, d'après les pièces du dossier, que le personnel de la succursale de Genève ait accepté au nom de la défenderesse A. SA un mandat ayant pour objet la gestion de biens provenant de W. Il suffisait de constater qu'une pareille éventualité ne présente en elle-même rien d'impossible et que rien, non plus, ne dénote une tentative d'attraire abusivement la défenderesse devant les tribunaux genevois. Pour ce motif déjà, quant à l'ajournement de la preuve, la décision critiquée se révèle conforme aux règles fédérales du droit de procédure civile international (cf. ATF 133 III 295 consid. 6.1 p. 298; ATF 122 III 249 consid. 3a in fine p. 251).

Au surplus, les déductions que le juge opère sur la base d'indices relèvent de l'appréciation des preuves, de sorte qu'en principe, avec la constatation des faits, elles échappent au contrôle du Tribunal fédéral (ATF 117 II 256 consid. 2b p. 258; ATF 128 III 390 consid. 4.3.3 in fine p. 398; ATF 126 III 10 consid. 2b p. 12/13). Seules les déductions exclusivement fondées sur l'expérience générale de la vie se rattachent à l'application du droit (ATF 126 III 10 consid. 2b p. 12; ATF 115 II 440 consid. 5b p. 448/449; ATF 107 II 269 consid. 2b p. 274). En conséquence, il n'appartient de toute manière pas au Tribunal fédéral de revoir l'appréciation que la Cour de justice a effectuée sur la base des pièces du dossier quant à la vraisemblance du mandat allégué par la demanderesse. A cette appréciation, A. SA n'oppose que de simples dénégations, quoiqu'elle les développe longuement et sur chacun des indices relevés dans la décision; cela ne constitue pas une argumentation suffisante au regard de la jurisprudence précitée relative à l'art. 97 al. 1 LTF.