1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 137 III 417 consid. 1 et les arrêts cités).

1.1 Les décisions portant sur l'administration de preuves à futur sont des mesures provisionnelles au sens de la LTF (cf. art. 98; ATF 133 III 638 consid. 2 p. 639). Une mesure provisionnelle donne lieu à une décision finale (art. 90 LTF) lorsqu'elle est rendue dans une procédure indépendante d'une procédure principale et qu'elle y met un terme (ATF 134 I 83 consid. 3.1 p. 86; ATF 133 III 589 consid. 1 p. 590; cf. également ATF 137 III 324 consid. 1.1 p. 327).

La décision rejetant une requête de preuve à futur dans le cadre d'une procédure indépendante met fin à cette procédure; il s'agit d'une décision finale au sens de l'art. 90 LTF (cf. MARK SCHWEIZER, Vorsorgliche Beweisabnahme nach schweizerischer Zivilprozessordnung und Patentgesetz, ZZZ 2010 p. 28). En revanche, la décision admettant une requête de preuve à futur et ordonnant l'administration de la preuve ne termine pas nécessairement la procédure; celle-ci se poursuit jusqu'à ce que la preuve soit administrée (SCHWEIZER, op. cit., p. 30). Dans le cas d'une expertise hors procès, le juge devra peut-être, avant que la procédure ne prenne fin, nommer un autre expert, comme dans la présente espèce, ou transmettre à l'expert d'éventuelles questions complémentaires des parties, ou encore se prononcer sur une demande de révocation de l'expert (cf. arrêt 5A_435/2010 du 28 juillet 2010 consid. 1.1.1). Par conséquent, la décision admettant une requête d'expertise dans le cadre d'une procédure indépendante n'est pas une décision finale, mais une décision incidente au sens de l'art. 93 al. 1 LTF, c'est-à-dire une décision incidente notifiée séparément qui ne porte ni sur la compétence ni sur une demande de récusation (cf. art. 92 al. 1 LTF).

1.2 Aux termes de l'art. 93 al. 1 LTF, le recours immédiat contre une telle décision n'est possible que si elle peut causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale permettant d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b). Le préjudice irréparable dont il est question à l'art. 93 al. 1 let. a LTF doit être de nature juridique et ne pas pouvoir être réparé ultérieurement par une décision finale favorable au recourant (ATF 137 V 314 consid. 2.2.1 p. 317 et les arrêts cités). Il appartient au recourant d'expliquer en quoi la décision entreprise remplit les conditions de l'art. 93 LTF, sauf si ce point découle manifestement de la décision attaquée ou de la nature de la cause (ATF 134 II 137 consid. 1.3.3 p. 141; ATF 134 III 426 consid. 1.2 p. 429; ATF 133 III 629 consid. 2.4.2 p. 633).

L'arrêt attaqué déclare irrecevable un appel du recourant contre la décision incidente admettant la requête d'expertise hors procès de l'intimée, de sorte que la procédure de preuve à futur continue en première instance.

L'administration de la preuve, à savoir l'examen d'une moquette posée par le recourant, n'est manifestement pas susceptible de provoquer un préjudice juridique irréparable. Quant au prononcé accessoire sur les frais et dépens contenu dans une décision incidente, il n'est d'emblée pas de nature à causer un tel préjudice (ATF 135 III 329 consid. 1.2 p. 331 ss). La condition posée par l'art. 93 al. 1 let. a LTF n'est pas réalisée en l'espèce.

La Cour d'appel a rendu un arrêt d'irrecevabilité et ne s'est pas prononcée sur le bien-fondé de la décision de première instance. Contre un tel arrêt, seules les conclusions du recours tendant à l'annulation et au renvoi sont admissibles, à l'exclusion des conclusions sur le fond, lesquelles supposent que l'autorité précédente soit entrée en matière (FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 17 ad art. 42 LTF p. 276). En effet, s'il annule un arrêt d'irrecevabilité, le Tribunal fédéral ne statue pas lui-même sur le fond, mais renvoie la cause à l'autorité d'appel afin que le justiciable ne soit pas privé d'un degré de juridiction (cf. arrêt 4A_330/2008 du 27 janvier 2010 consid. 2.1, non publié in ATF 136 III 102). Dans le cas présent, l'admission du recours ne pourrait dès lors pas conduire immédiatement à une décision finale. Au demeurant, le recourant ne démontre pas que l'administration de l'expertise ordonnée à titre de preuve à futur serait longue et coûteuse, sans qu'il soit manifeste que tel serait le cas. La condition posée à l'art. 93 al. 1 let. b LTF n'est pas non plus remplie dans le cas particulier.

Il s'ensuit que l'arrêt attaqué ne peut pas faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral. Le recours est irrecevable.