2.1 Wie bereits vor dem Kantonsgericht bestritt der Beschwerdeführer vor der Vorinstanz nicht den Bestand der betriebenen Bürgschaftsforderung in der Höhe von insgesamt Fr. 2'183'805.55. Er machte jedoch geltend, die Beschwerdegegnerin habe durch ihr Geschäftsgebaren die Hauptschuldnerin geschädigt, weshalb er als Bürge die daraus resultierenden Schadenersatzansprüche verrechnungsweise geltend machen könne. Die Beschwerdegegnerin verwies demgegenüber darauf, dass die Hauptschuldnerin im Darlehensvertrag vom 13. Dezember 2004 auf die Verrechnung ausdrücklich verzichtet und der Beschwerdeführer den betreffenden Vertrag einerseits als Organ der Hauptschuldnerin und andererseits als Bürge unterzeichnet habe.

Die Vorinstanz stellte fest, der Beschwerdeführer habe bei Abschluss der Bürgschaft vom Verrechnungsverzicht der Hauptschuldnerin gegenüber der Beschwerdegegnerin Kenntnis gehabt. Der Auffassung der Beschwerdegegnerin folgend, erwog sie, der Beschwerdeführer müsse sich als Bürge den entsprechenden Verzicht entgegenhalten lassen, und es sei ihm demzufolge nach sachgerechter Auslegung von Art. 502 Abs. 2 OR verwehrt, seine Bürgschaftsschuld gegenüber der Beschwerdegegnerin mit angeblichen Forderungen der Hauptschuldnerin gegenüber der Beschwerdegegnerin "zu verrechnen". Daraus schloss sie, die Verrechnungseinrede des Beschwerdeführers sei unzulässig.

2.2 Der Beschwerdeführer rügt zunächst, diese Auffassung verletze Art. 502 Abs. 2 und Art. 121 OR.

2.2.1 Durch den Bürgschaftsvertrag übernimmt der Bürge gegenüber dem Gläubiger die Pflicht, für die Erfüllung der Schuld eines Dritten, des Hauptschuldners, einzustehen (Art. 492 Abs. 1 OR). Die Bürgschaftsverpflichtung setzt den Bestand der sicherzustellenden Verpflichtung voraus. Sie ist dieser beigeordnet und hängt in Bestand und Inhalt notwendigerweise von ihr ab; die Bürgschaft ist akzessorisch. Sie sichert die Zahlungsfähigkeit des Schuldners oder die Erfüllung eines Vertrages (BGE 129 III 702 E. 2.1 S. 704; BGE 125 III 305 E. 2b S. 307; BGE 113 II 434 E. 2a; BGE 111 II 276 E. 2b S. 279).

Entsprechend dem Grundsatz der Akzessorietät stehen dem Bürgen die Einreden des Hauptschuldners zu, die sich nicht auf dessen Zahlungsunfähigkeit stützen (Art. 502 Abs. 1 OR). Art. 502 Abs. 2 OR erweitert diesen Schutz, indem er den Bürgen ermächtigt, eine Einrede des Hauptschuldners auch geltend zu machen, wenn dieser darauf verzichtet hat.

Gemäss Art. 121 OR kann der Bürge die Befriedigung des Gläubigers verweigern, soweit dem Hauptschuldner das Recht zur Verrechnung zusteht. Diese Bestimmung schützt den Bürgen dann, wenn der Hauptschuldner die Verrechnung erklären könnte, dies aber nicht tut. Diesfalls fehlt es an der Gestaltungserklärung des Hauptschuldners für die Tilgung der Hauptschuld durch Verrechnung, und nach dem Akzessorietätsprinzip müsste auch der Bürge weiterhaften. Denn dieser kann nicht selbst eine Forderung des Hauptschuldners gegenüber dem Gläubiger zur Verrechnung bringen und damit den Untergang seiner Bürgschaftsschuld bewirken (BGE 126 III 25 E. 3b). Hier greift Art. 121 OR, der dem Bürgen in derartigen Konstellationen eine aufschiebende Einrede gegen die Durchsetzung der Bürgschaftsschuld gewährt (AEPLI, Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 1991, N. 45 zu Art. 121 OR; KILLIAS, in: Handkommentar zum Schweizer Privatrecht, 2007, N. 7 zu Art. 121 OR; MÜLLER, Der Schutz des Bürgen im schweizerischen Privatrecht, 2010, S. 171 f.; OSER/SCHÖNENBERGER, Zürcher Kommentar, 2. Aufl. 1945, N. 11 zu Art. 502 OR; PETER, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht, Bd. I, 5. Aufl. 2011, N. 1 f. zu Art. 121 OR; SCHWENZER, Schweizerisches Obligationenrecht, Allgemeiner Teil, 5. Aufl. 2009, S. 508; SCYBOZ, Garantievertrag und Bürgschaft, in: Obligationenrecht, Besondere Vertragsverhältnisse, SPR Bd. VII/2, 1979, S. 384; vgl. auch ENGEL, Contrats de droit suisse, 2. Aufl. 2000, S. 651). Im Gegensatz zur Verrechnungserklärung des Hauptschuldners lässt die auf Art. 121 OR gestützte Einrede des Bürgen den Bestand von Haupt- und Bürgschaftsforderung unberührt (AEPLI, a.a.O., N. 45 zu Art. 121 OR).

2.2.2 Bislang vom Bundesgericht noch nicht entschieden ist die Frage, welche Rechtsfolgen es für den Bürgen nach sich zieht, wenn der Hauptschuldner auf seinen Verrechnungsanspruch verzichtet und damit sein Recht verliert, durch Verrechnungserklärung die Hauptforderung (im Umfang der Verrechnung) zum Untergang zu bringen. Namentlich fragt sich, ob in diesem Fall die Regelung von Art. 502 Abs. 2 OR Anwendung findet.

In BGE 126 III 25 liess das Bundesgericht die Frage offen, ob der Bürge seine Leistung in analoger Anwendung von Art. 502 Abs. 2 und Art. 121 OR verweigern kann, wenn der Hauptschuldner, nach Abschluss des Bürgschaftsvertrags und ohne Zustimmung des Bürgen, auf eine Verrechnungsforderung verzichtet hat, da der Bürge im zu beurteilenden Fall dem Verzicht des Hauptschuldners zugestimmt hatte (E. 3b). Das Bundesgericht wies in diesem Entscheid aber immerhin auf die Lehrmeinung hin, gemäss der sich der Bürge gestützt auf Art. 502 Abs. 2 OR einen nach Abschluss der Bürgschaft und ohne seine Zustimmung ergangenen Verrechnungsverzicht nicht entgenhalten lassen müsse (AEPLI, a.a.O., N. 29 zu Art. 121 OR; BECKER, Berner Kommentar, 2. Aufl. 1941, N. 3 zu Art. 121 OR; GIOVANOLI, in: Berner Kommentar, 2. Aufl. 1978, N. 5b zu Art. 502 OR; PETER, a.a.O., N. 3 zu Art. 121 OR; SCYBOZ, a.a.O., S. 384). Die entsprechende Auffassung machte sich vorliegend die Vorinstanz zu eigen.

Die zitierte Lehrmeinung geht von der Prämisse aus, dass Art. 502 Abs. 2 OR - obwohl die Bestimmung den Verzicht des Hauptschuldners auf Einreden und nicht den Verzicht auf Gestaltungsrechte zum Gegenstand hat - auch auf den Fall von Art. 121 OR Anwendung findet. Für diese Ansicht bestehen denn auch gute Gründe, da Art. 121 OR die akzessorischen Einredemöglichkeiten gemäss Art. 502 Abs. 1 OR ergänzt und beide Normen den Bürgen schützen, indem sie ihm ein im Verhältnis zwischen Gläubiger und Hauptschuldner begründetes Leistungsverweigerungsrecht einräumen. Es rechtfertigt sich daher, Art. 502 Abs. 2 OR, der den Schutz des Bürgen im Falle eines Verzichts des Hauptschuldners auf eine ihm zustehende Einrede erweitert, auf den von Art. 121 OR erfassten Verrechnungstatbestand anzuwenden. Dem Bürgen verbleibt somit in analoger Anwendung von Art. 502 Abs. 2 OR die Einrede gemäss Art. 121 OR, auch wenn der Hauptschuldner auf das ihm zustehende Verrechnungsrecht verzichtet.

Noch nicht beantwortet ist damit allerdings die Frage nach der inhaltlichen Tragweite von Art. 502 Abs. 2 OR. Diese Bestimmung beruht auf dem Grundgedanken, dass die Stellung des Bürgen nicht einseitig durch eine nachträgliche Vereinbarung zwischen dem Gläubiger und dem Hauptschuldner soll verschlechtert werden können (AEPLI, a.a.O., N. 15 zu Art. 121 OR; BECK, Das neue Bürgschaftsrecht, 1942, N. 44 zu Art. 502 OR; GUHL UND ANDERE, Das Schweizerische Obligationenrecht, 9. Aufl. 2000, S. 637 f. N. 55; KILLIAS, a.a.O., N. 4 zu Art. 121 OR; MÜLLER, a.a.O., S. 170 f.; OSER/SCHÖNENBERGER, a.a.O., N. 26 zu Art. 502 OR; PESTALOZZI, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht, Bd. I, 5. Aufl. 2011, N. 11 zu Art. 502 OR; SCYBOZ, a.a.O., S. 385). Sie erfasst demnach nicht den hier zu beurteilenden Fall, dass der Hauptschuldner vor Abschluss der Bürgschaft und mit Zustimmung des Bürgen auf Einreden verzichtet hat.

Daraus folgt, dass sich der Bürge jedenfalls dann nicht auf Art. 502 Abs. 2 OR berufen kann, wenn er die Bürgschaft im Wissen darum eingegangen ist, dass der Hauptschuldner gegenüber dem Gläubiger auf die Verrechnung verzichtet hat. Dieser Fall ist wertungsmässig ähnlich gelagert wie der in BGE 126 III 25 entschiedene. Verzichtet der Hauptschuldner demgegenüber nach Abschluss des Bürgschaftsvertrages und ohne Zustimmung des Bürgen auf die Verrechnung, so ist dem Bürgen mit der insofern einhelligen Lehre ein Leistungsverweigerungsrecht zuzugestehen (AEPLI, a.a.O., N. 29 zu Art. 121 OR; BECKER, a.a.O., N. 3 zu Art. 121 OR; GIOVANOLI, a.a.O., N. 5b zu Art. 502 OR; JEANDIN, in: Commentaire romand, Code des obligations, Bd. I, 2003, N. 2 zu Art. 121 OR; MEIER, in: Commentaire romand, Code des obligations, Bd. I, 2003, N. 11 zu Art. 502 OR; PETER, a.a.O., N. 3 zu Art. 121 OR; vgl. auch HONSELL, Schweizerisches Obligationenrecht, Besonderer Teil, 9. Aufl. 2010, S. 418).

2.2.3 Vorliegend steht fest und bestreitet auch der Beschwerdeführer nicht, dass die Hauptschuldnerin im Darlehensvertrag vom 13. Dezember 2004 bezüglich der Darlehensforderung auf die Geltendmachung der Verrechnung verzichtete. Dieser Verzicht war auch ohne Weiteres zulässig, und zwar sowohl mit Bezug auf bestehende als auch betreffend zukünftige Verrechnungsforderungen (Art. 126 OR). Gemäss den bindenden Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz hatte der Beschwerdeführer als Bürge beim Eingehen der Bürgschaftsverpflichtung Kenntnis von der erwähnten Verzichtsklausel. Nach dem eben Ausgeführten kann er sich somit nicht auf Art. 502 Abs. 2 OR berufen, um gestützt auf die Verrechnungsmöglichkeit, wie sie der Hauptschuldnerin ohne Verzicht zustehen würde, die Leistung zu verweigern.

2.3 Der Beschwerdeführer sieht durch die vorinstanzliche Rechtsauffassung, er könne der Bürgschaftsforderung der Beschwerdegegnerin die behaupteten Verrechnungsansprüche der Hauptschuldnerin nicht entgegenhalten, weiter auch Art. 492 Abs. 4 und Art. 493 Abs. 2 OR verletzt. Er macht geltend, gemäss Art. 492 Abs. 4 OR könne der Bürge, abgesehen von den im Gesetz vorgesehenen Fällen, auf die ihm im Zwanzigsten Titel des Obligationenrechts eingeräumten Rechte nicht zum Voraus verzichten. Zu den entsprechenden Rechten zähle der Anspruch des Bürgen, nach Art. 502 Abs. 2 OR Einreden des Hauptschuldners geltend zu machen, auch wenn dieser darauf verzichtet habe. Ein vorgängiger Verzicht des Bürgen auf dieses Recht sei im Gesetz nicht vorgesehen und daher gemäss Art. 492 Abs. 4 OR nicht zulässig. Gehe man hingegen - so der Beschwerdeführer weiter - von der Möglichkeit eines entsprechenden vorgängigen Verzichts aus, müssten dafür jedenfalls die qualifizierten Formvorschriften gemäss Art. 493 Abs. 2 OR gelten. Ein formgültiger Verzicht auf das Verrechnungsrecht liege - im Gegensatz etwa zu dem in der Bürgschaftserklärung enthaltenen Verzicht des Beschwerdeführers auf das beneficium excussionis realis - nicht vor.

2.3.1 Die Hauptschuldnerin hat vorliegend wie gesehen nicht nach Abschluss der Bürgschaft und ohne Zustimmung des Beschwerdeführers auf ihre Verrechnungseinrede verzichtet. Damit liegt kein Fall von Art. 502 Abs. 2 OR vor (E. 2.2.2), und es hilft dem Beschwerdeführer somit von vornherein nicht weiter, wenn er sich auf die Unverzichtbarkeit des in dieser Bestimmung normierten Rechts des Bürgen beruft.

2.3.2 Soweit der Beschwerdeführer dagegen annimmt, der Verrechnungsverzicht der Hauptschuldnerin sei ihm gegenüber schon alleine gestützt auf Art. 121 OR in Verbindung mit Art. 492 Abs. 4 OR unwirksam, da Art. 121 OR eine unverzichtbare Einrede des Bürgschaftsrechts statuiere, verkennt er den Gehalt von Art. 492 Abs. 4 OR:

Diese Bestimmung verbietet lediglich, dass der Bürge auf eigene Rechte , d.h. auf die seinem Schutze dienenden gesetzlichen Regeln, im Voraus verzichtet (vgl. BECK, a.a.O., N. 134 f. zu Art. 492 OR; PESTALOZZI, a.a.O., N. 8 zu Art. 493 OR). Mit anderen Worten untersagt sie ausschliesslich den Vorausverzicht des Bürgen selbst auf die ihm von Gesetzes wegen im Verhältnis zum Gläubiger und zum Hauptschuldner zustehenden Rechte. Der Bürge kann demnach zwar nicht im Voraus darauf verzichten, dem Gläubiger die dem Hauptschuldner zustehenden Einreden und Einwendungen entgegenzusetzen. Diese Befugnis ergibt sich bereits aus der Akzessorietät der Bürgschaft, der es grundsätzlich widersprechen würde, wenn der Bürge eine strengere Verpflichtung eingehen würde als der Hauptschuldner (vgl. BGE 129 III 702 E. 2.1 S. 704; BECK, a.a.O., N. 93 zu Art. 492 sowie N. 47 zu Art. 502 OR; OSER/SCHÖNENBERGER, a.a.O., N. 33 zu Art. 502 OR). Sie steht dem Bürgen jedenfalls aus eigenem Recht zu (SCYBOZ, a.a.O., S. 382), weshalb er gemäss Art. 492 Abs. 4 OR nicht von vornherein darauf verzichten kann (PESTALOZZI, a.a.O., N. 4 zu Art. 502 OR; vgl. auch GIOVANOLI, a.a.O., N. 88 zu Art. 492 OR; MÜLLER, a.a.O., S. 46). Art. 492 Abs. 4 OR hindert den Bürgen demgegenüber nicht daran, für die Erfüllung einer Schuld einzustehen, bezüglich welcher der Hauptschuldner in Abweichung vom dispositiven Gesetzesrecht auf Einwendungen oder Einreden verzichtet hat (anders wohl BECK, a.a.O., N. 47 zu Art. 502 OR).

Dieses Ergebnis ergibt sich bereits aus dem Umstand, dass der Zwanzigste Titel des Obligationenrechts keine Regeln zum möglichen Inhalt der zu sichernden Hauptforderung respektive zu den Einwendungen und Einreden des Hauptschuldners enthält, sondern lediglich in Art. 492 Abs. 2 OR festhält, dass die Bürgschaft eine zu Recht bestehende Hauptschuld voraussetzt. Damit fehlt es an einer Bestimmung im Zwanzigsten Titel des Obligationenrechts, die es dem Hauptschuldner zum Schutz des Bürgen verbietet, im Rahmen des Hauptschuldverhältnisses auf Einreden und Einwendungen gegen die verbürgte Forderung zu verzichten, weil dadurch indirekt auch der Bürge betroffen wäre, oder die es dem Bürgen selbst untersagt, für eine mit einem solchen Verzicht belastete Schuld einzustehen. Dieses Verständnis steht denn auch im Einklang mit dem durch Art. 492 Abs. 4 OR verfolgten Zweck: Mit dieser Bestimmung, die auf die Revision des Bürgschaftsrechts von 1941 zurückgeht, sollte verhindert werden, dass Bürgen durch die Unterzeichnung von vorgedruckten Formularen auf ihre gesetzlichen Rechte verzichten und später von der Tragweite dieses Verzichts überrascht werden (Botschaft vom 20. Dezember 1939 zur Revision des Bürgschaftsrechts, BBl 1939 II 873 f.; vgl. auch BECK, a.a.O., N. 134 zu Art. 492 OR). Mit anderen Worten wollte der Gesetzgeber mit dem Verbot des Vorausverzichts verhindern, dass der Bürge in der Bürgschaftsvereinbarung auf die zu seinem Schutz eingeräumten bürgschaftsrechtlichen Einreden verzichtet; es war hingegen nicht seine Absicht, den Inhalt und die Modalitäten der zu verbürgenden Hauptforderung festzulegen. Dies ist auch nachvollziehbar: Hätte der Gesetzgeber dem Bürgen nämlich verboten, für eine mit einem Einrede- oder Einwendungsverzicht belastete Schuld einzustehen, hätte er in Kauf nehmen müssen, dass mit der Bürgschaft solche - vom dispositiven gesetzlichen Recht abweichende - schuldrechtliche Verpflichtungen in vielen Fällen nicht mehr hätten gesichert werden können.

Es bleibt somit insofern beim Grundsatz, dass der Bürge für die Verpflichtung einsteht, so wie sie der Hauptschuldner eingegangen ist (vgl. E. 2.2.1). Ein Verrechnungsverzicht des Hauptschuldners wie der vorliegende, der das Schuldverhältnis zwischen diesem und dem Gläubiger betrifft, gilt demnach auch für den Bürgen. Ob die - das Verhältnis zwischen dem Bürgen und dem Gläubiger betreffende - Einrede gemäss Art. 121 OR zu den gemäss Art. 492 Abs. 4 OR unverzichtbaren Rechten des Bürgen gehört, obwohl sie nicht im Zwanzigsten Titel des Obligationenrechts eingeräumt wird, braucht unter diesen Umständen nicht beurteilt zu werden (zu dieser Frage AEPLI, a.a.O., N. 10 zu Art. 121 OR; BECKER, a.a.O., N. 3 zu Art. 121 OR). Soweit die Argumentation des Beschwerdeführers auf der Prämisse aufbaut, dass er sich als Bürge nicht für eine durch einen Verrechnungsverzicht der Hauptschuldnerin erschwerte Hauptpflicht verbürgen konnte, kann ihr demnach nicht gefolgt werden.

2.3.3 Schliesslich finden auch die vom Beschwerdeführer geforderten qualifizierten Formerfordernisse für den Verrechnungsverzicht im Gesetz keine Stütze. Nachdem es sich beim Verrechnungsverzicht des Hauptschuldners wie gesehen nicht um einen von Art. 492 Abs. 4 OR erfassten Eingriff in die gesetzliche Bürgenstellung handelt, sondern um eine Eigenschaft des verbürgten (Haupt-) Schuldverhältnisses, kann auch aus dem Umstand, dass dieser Verzicht nicht in der Bürgschaftserklärung enthalten war, von vornherein nichts abgeleitet werden (vgl. OSER/SCHÖNENBERGER, a.a.O., N. 27 zu Art. 493 OR; PESTALOZZI, a.a.O., N. 8 zu Art. 493 OR). Das Gesetz enthält keine Regel, wonach sich die für die Bürgschaftserklärung geltende Formpflicht auch auf die inhaltlichen Eigenschaften der Hauptschuld bezieht (vgl. PESTALOZZI, a.a.O., N. 7 f. zu Art. 493 OR).

2.4 Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz zutreffend erkannt, dass der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin keine Verrechnungsforderungen der Hauptschuldnerin entgegenhalten kann.