2.1 En l'espèce, il n'est pas contesté que l'avis officiel de résiliation du bail du 30 septembre 2009 (qui contient la signature originale des représentants de la bailleresse) n'a pas atteint l'intimée. Il est établi que celle-ci a reçu, par pli simple du 9 novembre 2009, la photocopie de cet avis officiel et que le pli contenait également un courrier d'accompagnement sur lequel était apposée la signature manuscrite et originale des représentants autorisés de la recourante.

Dans son jugement du 24 septembre 2012, le Tribunal des baux et loyers a rappelé que, selon la jurisprudence du Tribunal fédéral, la photocopie de l'original du formulaire de résiliation ne remplit pas la condition de la signature manuscrite (arrêt 4C.308/2004 du 10 novembre 2004 consid. 2.2.2). S'appuyant sur l'avis de trois auteurs de doctrine, la première instance a toutefois admis la validité du congé, la lettre d'accompagnement remplissant elle cette condition.

Dans son arrêt du 22 avril 2013, la cour cantonale, renvoyant à une décision de la Cour de céans (arrêt 4A_374/2012 du 6 novembre 2012), considère au contraire que c'est bien la formule officielle qui doit contenir une signature manuscrite et qu'il ne suffit pas qu'elle soit transmise sous forme de photocopie et accompagnée d'un courrier du bailleur dûment signé.

La recourante soutient que le raisonnement de la cour précédente viole l'art. 266l CO et l'art. 9 de l'ordonnance du 9 mai 1990 sur le bail à loyer et le bail à ferme d'habitations et de locaux commerciaux (OBLF; RS 221.213.11), le Tribunal fédéral ayant jugé, dans un arrêt 4C.32/1998 du 10 juillet 1998 (partiellement reproduit in mp 2000 p. 185), que la résiliation est valable si le courrier qui accompagne la formule officielle non signée est lui-même signé à la main.

2.2 L'état de fait retenu dans l'arrêt 4C.32/1998 auquel se réfère la recourante est effectivement comparable à celui objet de la présente procédure. La locataire soutenait que le congé notifié par le bailleur était nul parce que seule la lettre d'accompagnement, et non la formule officielle, contenait une signature manuscrite. Le Tribunal fédéral a alors tranché la question, affirmant qu'on tomberait dans l'excès si on suivait la thèse de la recourante et qu'il fallait, avec la cour cantonale, tenir comme suffisante une signature manuscrite apposée sur la lettre d'accompagnement (arrêt 4C.32/1998 déjà cité consid. 2; cf. également la décision de la Chambre d'appel en matière de baux et loyers de Genève du 10 novembre 1997 confirmée par cet arrêt, in Droit du bail 1999 n. 21 p. 29).

La doctrine unanime se réfère à cet arrêt, sans émettre la moindre critique (DAVID LACHAT, Le bail à loyer, nouvelle éd. 2008, p. 628 n. 2.2; LACHAT/THANEI, in Das Mietrecht für die Praxis, 8^e éd. 2009, p. 510 n. 25/2.2; MARINO MONTINI, in Droit du bail à loyer, Bohnet/Montini [éd.], 2010, n°18 ad art. 266l CO; ROGER WEBER, in Basler Kommentar, Obligationenrecht, vol. I, 5^e éd. 2011, n° 2 ad art. 266l CO; Le droit suisse du bail à loyer, adaptation française de Burkhalter/Martinez-Favre, 2011, n° 5a ad art. 266l-266o CO; RICHARD PERMANN, Kommentar zum Mietrecht, 2^e éd. 2007, n° 5 ad art. 266l CO; en ce sens, antérieurement à la décision du Tribunal fédéral: PETER HIGI, Zürcher Kommentar, 4^e éd. 1995, n° 18 ad art. 266l CO; plaidant de manière générale pour un assouplissement de l'exigence de la signature manuscrite sur la formule officielle: RAOUL FUTTERLIEB, Formulaire de résiliation, Commentaire, MRA 2005 p. 59 s.).

2.3 La position prise par la Cour de céans dans l'arrêt 4C.32/1998, partagée par la doctrine, est conforme à la lettre et à l'esprit de l'art. 266l CO en lien avec les art. 12 ss CO.

Le congé d'un bail d'habitation doit être donné par écrit (art. 266l al. 1 CO) et, lorsqu'il émane du bailleur, au moyen d'une formule officielle agréée par le canton (art. 266l al. 2 CO) . Il s'agit dans ce dernier cas de l'exigence d'une forme (écrite) qualifiée (arrêt 4C.308/2004 déjà cité consid. 2.2.2).

La forme écrite est régie par les art. 12 ss CO. Elle implique - sous réserve des situations, qui n'entrent pas en ligne de compte en l'espèce, prévues à l'art. 14 al. 2 et 3 CO - que l'original comporte la signature manuscrite de l'auteur (art. 14 al. 1 CO; entre autres auteurs: BERNARD CORBOZ, Les congés affectés d'un vice, in 9^e Séminaire sur le droit du bail, 1996, p. 16). L'apposition de la signature autographe, dans les déclarations où une forme est prescrite (art. 11 al. 2 CO), répond au besoin de pouvoir attribuer une déclaration à une personne clairement identifiable (ATF 138 III 401 consid. 2.4.2 p. 406).

C'est donc pour satisfaire à l'exigence de la forme écrite requise par l'art. 266l CO, en lien avec les art. 11 al. 2, 13 al. 1 et 14 al. 1 CO, qu'une signature manuscrite doit être apposée par le bailleur sur la formule officielle (en l'absence de lettre d'accompagnement), et non parce qu'une telle signature serait spécialement exigée pour la formule officielle par l'art. 266l al. 2 CO ou l'art. 9 OBLF (arrêts 4C.308/2004 déjà cité consid. 2.2.2; 4C.32/1998 déjà cité consid. 2; cf. également: décision de la Chambre d'appel en matière de baux et loyers de Genève du 10 novembre 1997, in Droit du bail 1999 n. 21 p. 29).

Ni l'art. 266l CO, ni l'art. 14 CO ne disposent que la signature manuscrite d'une formule officielle devrait être apposée au pied de l'acte lui-même (cf. en lien avec la forme écrite d'un acte: ATF 34 II 665 consid. 2 p. 672 s.). La manifestation de volonté (exprimée en l'occurrence dans la copie de l'avis de résiliation) peut résulter d'un document et la signature être apposée sur une autre pièce, comme une lettre d'accompagnement, pour autant qu'il existe entre ces documents un lien évident résultant du contenu de chacun d'eux (ATF 40 II 190 consid. 4 et 5 p. 194 ss; KRAMER/SCHMIDLIN, Berner Kommentar, 1986, n° 20 des remarques générales ad art. 12-15 CO et les références citées; SCHÖNENBERGER/JÄGGI, Zürcher Kommentar, 1973, n° 37 ad art. 13 CO; en matière de reconnaissance de dette: ATF 132 III 480 consid. 4.1 p. 481; ATF 122 III 125 consid. 2 p. 126).

En l'espèce, ce lien existe puisque, la bailleresse, dans son courrier du 9 novembre 2009, fait référence à sa lettre recommandée du 30 septembre (soit l'avis de résiliation du bail), précise qu'elle en maintient les termes et informe qu'elle la remet en annexe. Ce courrier d'accompagnement et la formule officielle forment ainsi un tout, de telle sorte que l'on est en présence d'une déclaration signée qui est valable (cf. ATF 83 II 510 consid. 1 p. 514; KRAMER/SCHMIDLIN, op. cit., n° 20 des remarques générales ad art. 12-15 CO).

2.4 Dans la décision du 6 novembre 2012 (arrêt 4A_374/2012) citée par la cour cantonale, le Tribunal fédéral devait déterminer si la date de la résiliation - qui doit figurer, selon l'art. 9 al. 1 let. b OBLF, dans la formule officielle - pouvait valablement être indiquée exclusivement dans le courrier d'accompagnement. En l'espèce, l'autorité précédente se fonde sur une affirmation contenue au début du consid. 4 de cette décision. Dans ce bref passage, la Cour de céans a écarté l'argumentation du recourant qui, pour défendre sa thèse, tentait de faire une analogie entre l'exigence de la mention de la date du congé sur la formule officielle et celle de l'apposition de la signature du bailleur. C'est dans cette perspective qu'il a été fait référence à la question de la signature. Cet obiter dictum - qui renvoie d'ailleurs à un précédent arrêt (arrêt 4C.308/2004 du 10 novembre 2004 consid. 2.2.2) traitant exclusivement du contenu de la formule officielle (et non celui de la lettre d'accompagnement) - n'a donc pas la portée que lui attribue la cour précédente.

Il faut enfin relever que, contrairement à ce qu'affirme la cour cantonale, il n'importe que le courrier d'accompagnement daté du 9 novembre 2009 ne mentionne explicitement, dans son texte même, ni la volonté de la bailleresse de mettre fin au bail, ni la date à laquelle la résiliation envisagée est donnée. Il a été établi que le courrier en question, dûment signé, informait la locataire d'un état des lieux de sortie le 3 janvier et qu'il était accompagné d'une copie de l'avis de résiliation du bail (qui contenait toutes les indications exigées par l'art. 9 OBLF), ainsi que des directives de la régie relatives à l'état des lieux de sortie. La volonté de la bailleresse de résilier le bail était donc patente et la date du congé contenue dans l'avis de résiliation. La locataire n'a d'ailleurs jamais allégué avoir eu un doute à ce sujet; au cours de la procédure, elle s'est bornée à soutenir la thèse - écartée plus haut - selon laquelle l'envoi d'un pli contenant une simple photocopie de l'avis officiel accompagnée d'une lettre signée par le bailleur ne suffirait pas. Suivre la position de l'autorité précédente reviendrait au demeurant à exiger du bailleur, qui entend résilier le bail, d'attirer expressément l'attention du locataire sur le congé par d'autres moyens que le simple envoi de la formule officielle, ce qui n'est pas admissible, la loi ne prévoyant pas cette nécessité (cf. art. 266l CO et 9 OBLF).

Il résulte des considérations qui précèdent qu'il serait en l'espèce contraire au droit fédéral de retenir la nullité du congé parce que seule la lettre d'accompagnement, et non la formule officielle, contient une signature manuscrite originale.

Partant, en retenant que la résiliation du contrat par pli simple du 9 novembre 2009 était nulle, la cour cantonale a violé le droit fédéral.