A.

A.a Le 1 ^er mars 2012, A.X. (ci-après: le client ou le défunt) et son épouse, A.C., ont ouvert un compte joint auprès de B. SA (ci-après: la banque [...]), à laquelle ils ont confié un mandat de conseil en placement.

Ayant décidé d'acquérir 25'000 actions x lors de l'introduction en bourse de cette société, le client a donné l'ordre à la banque d'acquérir pour son compte ces actions au prix de 25 USD par action lors de l'entrée en bourse.

Par courriel du 6 novembre 2013, le bureau de représentation de la banque à Z. a confirmé au client l'achat de ces actions au prix unitaire de 25 USD, valeur au 11 novembre 2013.

A.b L'introduction en bourse des actions x a eu lieu le 7 novembre 2013 en fin de journée à New York à un prix fixé à 26 USD par action.

Par courriel du 11 novembre 2013, la banque a informé le client qu'elle n'avait en réalité pas pu acquérir ces actions pour son compte et que sa confirmation du 6 novembre 2013 était erronée.

Le 11 novembre 2013, le cours des actions x s'élevait à 42,90 USD par action.

A.c Par courrier de son mandataire du 12 novembre 2013, le client a demandé à la banque de lui remettre les certificats des actions x, ainsi que tout autre document attestant de l'exécution de la transaction demandée au prix unitaire de 25 USD et du fait qu'il était propriétaire desdites actions.

Un échange de correspondance s'en est suivi. En particulier, par courrier du 13 février 2014, la banque a précisé au client qu'elle avait correctement fait suivre son ordre d'achat à ses courtiers, mais que la demande des titres lors de l'introduction en bourse avait dépassé trente fois l'offre, de sorte qu'elle n'avait pu obtenir aucune action x.

Le 31 mars 2014, le client a clôturé son compte.

B.

B.a Par requête de conciliation du 17 avril 2014, le client a ouvert action contre la banque, concluant principalement à ce qu'elle soit condamnée à lui délivrer 25'000 actions x contre le paiement du montant de 625'000 USD. Subsidiairement, il a conclu à ce qu'elle soit condamnée à lui verser la somme de 447'500 USD avec intérêts à 5 % l'an dès le 11 novembre 2013. Après échec de la conciliation et délivrance d'une autorisation de procéder, il a déposé sa demande devant le Tribunal de première instance du canton de Genève le 8 octobre 2014. Il a invoqué qu'il aurait pu procéder à l'achat des actions dès le jour où il avait appris que la banque n'avait pas exécuté l'opération demandée et que le prix de cet achat se serait élevé à 1'072'500 USD, compte tenu d'un cours de l'action de 42,90 USD au 11 novembre 2013, d'où un dommage de 447'500 USD (soit 1'072'500 USD - 625'000 USD).

La banque a conclu au rejet de la demande.

Le client est décédé le 30 septembre 2015.

B.b Après qu'elle a été suspendue, la procédure a été reprise par les héritiers du client, soit son épouse, ses deux fils et sa fille (ci-après: les héritiers [ou] les demandeurs). Le 29 janvier 2016, ceux-ci ont retiré les conclusions principales en exécution contre le prix de 625'000 USD et transformé les conclusions subsidiaires en conclusions principales. (...)

Par ordonnance du 7 mars 2017, le tribunal a limité la procédure à la question du dommage.

B.c Par jugement du 1 ^er juin 2017, sur la seule question du dommage, le tribunal de première instance a rejeté la demande en paiement. (...)

B.d Ayant repris la cause après renvoi et donné aux parties l'occasion de se déterminer, la Cour de justice a rejeté l'appel des héritiers et confirmé le jugement attaqué par arrêt du 1 ^er septembre 2020. (...)

C. Contre cet arrêt, qui leur a été notifié le 19 octobre 2020, les héritiers demandeurs ont interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral le 18 novembre 2020 (...). (...)

Le Tribunal fédéral a rejeté le recours.

(extrait)

4. En second lieu, il faut examiner si, comme les demandeurs l'invoquent, ils ont subi un dommage de 447'500 USD, les autres conditions de la responsabilité de la banque n'ayant pas été tranchées.

4.1 Lorsque la banque et le client sont liés par un contrat de conseil en placements, la banque s'engage notamment à exécuter les instructions ponctuelles d'investissement du client (sur cette relation en général, cf. arrêt 4A_54/2017 du 29 janvier 2018 consid. 5.1.3).

La responsabilité de la banque dans l'exécution de ces ordres est soumise aux règles du mandat (art. 398 CO). La banque mandataire répond ainsi du dommage qu'elle cause au client intentionnellement ou par négligence, conformément à l'art. 398 al. 1 CO qui renvoie à l'art. 321e al. 1 CO. Sa responsabilité est donc subordonnée aux quatre conditions suivantes, conformément au régime général de l'art. 97 CO (arrêts 4A_175/2018 du 19 novembre 2018 consid. 4.1; 4A_588/2011 du 3 mai 2012 consid. 2.2.2): (1) une violation des obligations qui lui incombent en vertu du contrat, notamment la violation de ses obligations de diligence et de fidélité (art. 398 al. 2 CO; ATF 134 III 534 consid. 3.2.2; ATF 127 III 357 consid. 1); (2) un dommage; (3) un rapport de causalité (naturelle et adéquate) entre la violation du contrat et le dommage; et (4) une faute. Le mandant supporte le fardeau de l'allégation objectif ( objektive Behauptungs last ) et le fardeau de la preuve ( Beweislast ) des trois premières conditions, conformément à l'art. 8 CC (arrêts 4A_72/2020 du 23 octobre 2020 consid. 5.3; 4A_588/2011 précité consid. 2.2.2). Il incombe en revanche au mandataire de prouver qu'aucune faute ne lui est imputable ("à moins qu'il ne prouve ...") (arrêt 4A_72/2020 précité consid. 5.3 et les arrêts cités).

4.2.1 S'agissant de la deuxième condition, le dommage se définit comme la diminution involontaire de la fortune nette; il correspond à la différence entre le montant actuel du patrimoine du lésé et le montant que ce même patrimoine aurait eu si l'événement dommageable ne s'était pas produit. Il peut se présenter sous la forme d'une diminution de l'actif, d'une augmentation du passif, d'une non-augmentation de l'actif ou d'une non-diminution du passif ( ATF 133 III 462 consid. 4.4.2; ATF 132 III 359 consid. 4; ATF 129 III 331 consid. 2.1; ATF 128 III 22 consid. 2e/aa; ATF 127 III 73 consid. 4a). Lorsque le dommage consiste dans la perte d'un gain futur, on parle de gain manqué ( lu crum cessans; entgangener Gewinn ); il peut provenir soit de la non-augmentation d'un poste de l'actif, soit de la non-diminution d'un poste du passif (FRANZ WERRO, La responsabilité civile, 3 ^e éd. 2017, p. 47 n. 126 s.; REY/WILDHABER, Ausservertragliches Haftpflichtrecht, 5 ^e éd. 2018, p. 76 n. 405; ROLAND BREHM, Berner Kommentar, 4 ^e éd. 2013, n° 69 ad art. 41 CO).

En pratique, au lieu de déterminer la différence sur le patrimoine total (théorie de la différence), il est admis que le juge puisse, dans certains cas, se borner à déterminer l'actif qui a diminué ou le passif qui a augmenté (WERRO, op. cit., p. 26 n. 50; REY/WILDHABER, op. cit., p. 35 n. 185; BREHM, op. cit., n° 70b ad art. 41 CO). Ainsi, lorsque la banque exécute des opérations boursières, le dommage à réparer peut être calculé en fonction de la perte subie en raison de cette opération (à propos d'opérations effectuées par la banque sans mandat du client, cf. arrêt 4A_126/2019 du 17 février 2020 consid. 6.1.2).

4.2.2 Lorsqu'une vente d'actions dont le client est propriétaire devait être exécutée à une date déterminée indiquée par celui-ci et qu'elle n'a pas eu lieu, la perte subie doit être déterminée, pour autant qu'il y ait eu violation de ses obligations par la banque (première condition), au moment où l'opération aurait dû avoir lieu selon les instructions du client.

Lorsqu'un ordre d'achat d'actions donné par le client n'a pas été exécuté selon les instructions de celui-ci et que le dommage a été causé par la violation de ses obligations par la banque (première condition), le dommage éventuel réside dans un gain manqué, à savoir une non-augmentation de l'actif ( lucrum cessans; entgangener Gewinn ).

4.2.3 Il incombe au client demandeur de prouver son dommage avec certitude, conformément à l'art. 42 al. 1 CO, applicable par renvoi de l'art. 99 al. 3 CO. L'art. 42 al. 2 CO, qui instaure une preuve facilitée en faveur du demandeur, ne s'applique pas en cas de mauvaise exécution d'un ordre d'achat ou de vente d'actions cotées en bourse, le cours de ces actions à une date déterminée pouvant être prouvé avec certitude; ce n'est en effet que lorsque le dommage est d'une nature telle qu'une preuve certaine est objectivement impossible à rapporter ou ne peut pas être raisonnablement exigée, au point que le demandeur se trouve dans un état de nécessité quant à la preuve ( Beweisnot ), que cette disposition entre en jeu ( ATF 131 III 360 consid. 5.1; ATF 122 III 219 consid. 3a et les arrêts cités; arrêt 4A_431/2015 du 19 avril 2016 consid. 5.1.2).

Dans les procès soumis à la maxime des débats (art. 55 al. 1 CPC), il incombe aux parties, et non au juge, de rassembler les faits du procès. Les parties doivent alléguer les faits sur lesquels elles fondent leurs prétentions (fardeau de l'allégation subjectif), produire les moyens de preuve qui s'y rapportent (art. 55 al. 1 CPC) et contester les faits allégués par la partie adverse, le juge ne devant administrer les moyens de preuve que sur les faits pertinents et contestés (art. 150 al. 1 CPC; ATF 144 III 519 consid. 5.1). Le demandeur, qui supporte le fardeau de l'allégation objectif ( objektive Behauptungs last ) et le fardeau de la preuve ( objektive Beweislast d'un fait; art. 8 CC), en ce sens qu'il supporte les conséquences de l'absence d'allégation de ce fait, respectivement celles de l'absence de preuve de celui-ci, a évidemment toujours intérêt à l'alléguer lui-même, ainsi qu'à indiquer au juge les moyens propres à l'établir ( ATF 143 III 1 consid. 4.1).

4.3 En l'espèce, les demandeurs ne réclament pas la différence de valeur entre le prix d'achat des 25'000 actions x lors de leur entrée en bourse et le prix que le défunt a dû payer pour les acheter le 11 novembre 2013, lorsqu'il a appris que la banque n'avait pas exécuté son ordre le 7 novembre 2013, puisqu'il n'a pas procédé à cet achat. Leur indemnisation de ce chef n'entre donc pas en considération.

Le prétendu dommage que les demandeurs réclament repose sur une pure supposition. En effet, au moment déterminant de l'événement dommageable, soit le 7 novembre 2013, le cours futur de l'action était aléatoire: il pouvait monter, mais il pouvait aussi baisser les jours suivants. N'ayant pas pris le risque de donner l'ordre de revendre ses actions avant d'avoir appris, le 11 novembre 2013, qu'elles n'avaient pas été achetées, le défunt et, à sa suite, les demandeurs ne sont pas en mesure de prouver un dommage certain. Un gain hypothétique et aléatoire n'est pas suffisant. Les demandeurs ne sauraient reporter sur la banque leur absence de prise de risque d'une revente.