A.

A.a Am 29. November 2017 erhob die B. GmbH (Klägerin, Beschwerdeführerin) am Bundespatentgericht eine Patentverletzungsklage gegen die A. AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin). Die Klägerin macht darin eine Verletzung der Schweizer Teile von drei europäischen Patenten (EP x, EP y und EP z) durch die Einweg-Injektionspens "C." der Beklagten (in verschiedenen Ausführungsformen) geltend. Sie verlangt zusammengefasst die Unterlassung der weiteren Herstellung und des weiteren Vertriebs der "C." sowie Auskunft, Rechnungslegung und finanziellen Ausgleich.

In diesem Verfahren mit der Verfahrensnummer O2017_022 setzt sich der Spruchkörper des Bundespatentgerichts aus den Richtern Christoph Gasser (Instruktionsrichter), Tobias Bremi (Referent) und Kurt Sutter zusammen.

Am 7. Januar 2020 wurde den Parteien das Fachrichtervotum von Richter Bremi zur Stellungnahme zugestellt. Im Fachrichtervotum kommt Richter Bremi zum Schluss, dass die "C." Injektionspens der Beklagten (in verschiedenen Ausführungsformen) die Klagepatente EP y und EP z verletzten, nicht aber das Patent EP x. Die Klagepatente EP x und EP z seien rechtsbeständig, nicht aber das Patent EP y. Entsprechend sei das Klagepatent EP z rechtsbeständig und verletzt und das sich auf dieses Klagepatent stützende Rechtsbegehren sei gutzuheissen.

A.b Am 13. Januar 2020 ging am Bundespatentgericht eine weitere Patentverletzungsklage gegen die Beklagte ein (Verfahren Nr. O2020_ 001). In diesem Verfahren macht eine Drittgesellschaft, die D. Company (im Folgenden "Zweitklägerin" oder "Klägerin des zweiten Verfahrens"), die Verletzung ihres Patents durch die gleichen "C." Injektionspens der Beklagten geltend, die auch Anfechtungsgegenstand des ersten Verfahrens O2017_022 sind.

B.

B.a Am 14. Februar 2020 stellte die Beklagte das Gesuch, Richter Tobias Bremi habe im ersten Patentverletzungsverfahren O2017_022 in den Ausstand zu treten. Die Arbeitgeberin von Richter Bremi, die Kanzlei E. AG, sei als Vertreterin von Patenten der Klägerin des zweiten Verfahrens O2020_001 gegenüber dem Eidgenössischen Institut für Geistiges Eigentum eingetragen. Die zweite Klage im Verfahren O2020_001 richte sich gegen die gleichen "C." Injektionspens der Beklagten wie im ersten Verfahren O2017_022, weshalb das erste Verfahren für das zweite eine erhebliche präjudizielle Bedeutung habe.

Mit Beschluss vom 8. April 2020 wies die Verwaltungskommission des Bundespatentgerichts das Ausstandsgesuch ab.

Dagegen erhob die Beklagte Beschwerde an das Bundesgericht. Dieses hiess die Beschwerde mit Urteil vom 5. November 2020 gut, hob den Beschluss der Verwaltungskommission auf und wies die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurück (Verfahren 4A_243/ 2020; BGE 147 III 89).

Das Bundesgericht erkannte, dass nicht jegliche Beziehung für sich allein den Anschein der Befangenheit zu begründen vermöge, vielmehr müssten objektive Umstände auf eine gewisse Intensität hindeuten. Ob dieser Grad der Intensität erreicht sei, beurteile sich nach den Umständen des Einzelfalles. Dies gelte auch hinsichtlich bloss administrativer Tätigkeiten. Bestehe sodann die beanstandete Beziehung des Richters nicht zu einer Verfahrenspartei sondern - wie hier - zu einer Drittpartei in einem anderen Verfahren, sei auch die Wirkung der beiden Verfahren aufeinander beim Entscheid über den Ausstand zu berücksichtigen. Um in dieser Hinsicht die Befangenheit von Richter Bremi beurteilen zu können, fehlten jedoch die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen, welche die Vorinstanz nachzuholen habe:

- Zum einen müsse die Vorinstanz die Art, den Umfang und die Dauer der konkreten Geschäftsbeziehung zwischen der Klägerin des zweiten Verfahrens und der Kanzlei E. AG, bei welcher Richter Bremi tätig ist, abklären.

- Zum andern müsse die Vorinstanz die konkreten Auswirkungen der beiden hängigen Patentverletzungsprozesse aufeinander abklären.

B.b Nach Vornahme der erforderlichen Sachverhaltsergänzung hiess die Verwaltungskommission des Bundespatentgerichts mit Beschluss vom 15. März 2021 das Ausstandsgesuch gegen Richter Tobias Bremi gut und versetzte ihn in den Ausstand. Sie erwog zusammengefasst, dass die administrative Tätigkeit der Kanzlei E. AG für die Klägerin des Zweitprozesses ein erhebliches Ausmass erreiche, weshalb Richter Bremi im zweiten Patentverletzungsprozess nicht als Richter mitwirken könne. Den verfügten Ausstand von Richter Bremi im ersten Patentverletzungsprozess begründete die Verwaltungskommission mit der Wechselwirkung der beiden Verfahren in dem Sinne, dass die Klägerin des zweiten Verfahrens die gleichen Interessen wie die Klägerin des vorliegenden Verfahrens verfolge.

C. Die Beschwerdeführerin erhebt Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht mit dem Antrag, der Beschluss der Verwaltungskommission des Bundespatentgerichts vom 15. März 2021 sei aufzuheben und das Ausstandsgesuch gegen Richter Tobias Bremi sei abzuweisen. Sie rügt nebst offensichtlich unrichtiger Sachverhaltsfeststellungen eine falsche Anwendung von Art. 47 ZPO sowie eine Verletzung von Art. 124 Abs. 1 ZPO, Art. 29 BV und Art. 30 Abs. 1 BV. (...)

Das Bundesgericht weist die Beschwerde ab.

(Auszug)

6. Der vorliegende Fall zeigt exemplarisch die Schwierigkeiten im Hinblick auf Art. 30 Abs. 1 BV auf, die sich bei spezialisierten Fachgerichten mit mehrheitlich nebenamtlichen Richterpersonen aufgrund der kleinräumigen Verhältnisse in der Schweiz ergeben können (so JEREMIAS FELLMANN, Die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu Art. 30 Abs. 1 BV, Justice-Justiz-Giustizia 2021/2, Rz. 22). Für das Bundespatentgericht kommt erschwerend hinzu, dass die enge Spezialisierung auf das Patentrecht einen nur kleinen Kreis infrage kommender Gerichtspersonen erfasst und dass teilweise auch die hauptamtlichen Richter nur teilzeitlich für das Gericht und im Übrigen in anderer Funktion im Bereich des Patentrechts tätig sind. Diese Schwierigkeit vermag aber die hohe Bedeutung, die der Garantie des unabhängigen und unbefangenen Richters zukommt, und die gerade auch durch organisatorische Gegebenheiten tangiert sein kann ( BGE 147 I 173 E. 5.1), nicht aufzuwiegen. Im Gegenteil ist bei einer derartigen Organisation ganz besonders auf die richterliche Unabhängigkeit zu achten, wobei aber die vom Gesetzgeber gewollte Organisation im Rahmen der stets gebotenen Einzelfallbeurteilung ebenfalls zu berücksichtigen ist ( BGE 147 III 89 E. 4.2.1; BGE 139 III 433 E. 2.1.3).

Letzteres bedeutet im vorliegenden Kontext namentlich, dass für rein administrative Tätigkeiten der Kanzlei eines Bundespatentrichters eine weniger strikte Haltung gilt als für typische (Patent-)Anwaltstätigkeiten. Nicht jegliche administrative Tätigkeit genügt, um einen Anschein der Befangenheit zu begründen. Vielmehr müssen objektive Umstände auf eine gewisse Intensität der Beziehung hindeuten ( BGE 147 III 89 E. 5.1 und 5.2). In der Literatur wird aber zu Recht dafür plädiert, dass angesichts der grossen Bedeutung, die dem Anspruch auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht gemäss Art. 30 Abs. 1 BV für die Glaubwürdigkeit der Justiz zukommt, die Schwelle für einen Ausstandsgrund auch bei administrativen Tätigkeiten nicht zu hoch angelegt werden darf (FELLMANN, a.a.O., Rz. 24). Diese Grundsätze hat die Vorinstanz zutreffend beachtet und eine angemessene Abwägung der vorliegend gegebenen Umstände vorgenommen. Der Vorwurf der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe die vom Gesetzgeber gewollte Organisation des Bundespatentgerichts als mit Fachrichtern bestücktes Spezialgericht zu wenig berücksichtigt, ist daher unbegründet.

Auch trifft nicht zu, dass der verfügte Ausstand von Richter Bremi die Durchführung des Erstprozesses verunmöglichen würde, stehen doch andere Fachrichter, die nicht befangen erscheinen, zur Verfügung. Dass dies in anderen Fällen mit vergleichbarer Konstellation nicht auch möglich wäre, zeigt die Beschwerdeführerin nicht hinreichend auf.