Seule fait l'objet du présent recours la condamnation de l'Assurance militaire à rembourser à l'Etat de Genève la somme de 800 fr. avancée par celui-ci pour les frais d'expertise. Cette question peut, en soi, faire l'objet d'un recours de droit administratif à la Cour de céans. En effet, suivant l'art. 128 OJ, le Tribunal fédéral des assurances connaît en dernière instance des recours de droit administratif dirigés contre des décisions cantonales au sens des art. 97 et 98 lit. b à h, en matière d'assurances sociales.

En ce qui concerne la notion même de "décisions susceptibles d'un recours de droit administratif", l'art. 97 OJ précité renvoie à l'art. 5 LPA. Selon cette dernière disposition, sont considérées comme décisions les mesures prises par les autorités dans des cas d'espèce, fondées sur le droit fédéral et réalisant des conditions spéciales supplémentaires quant à leur objet (cf. lit. a, b et c de l'art. 5 al. 1er LPA).

Il résulte de l'art. 101 lit. b OJ qu'un recours de droit administratif contre des décisions rendues sur les frais de procédure et les dépens n'est recevable que si le recours est ouvert à titre principal, c'est-à-dire sur le fond.

En l'espèce, le jugement cantonal, qui n'a pas fait l'objet d'un recours à titre principal au sens de l'art. 101 lit. b OJ précité, répond à la notion de décision de l'art. 5 LPA. Il constitue une décision de l'autorité cantonale statuant en dernière instance (art. 98 lit. g OJ). Dès lors, le Tribunal fédéral des assurances est fondé à entrer en matière sur le recours si et dans la mesure où la décision sur les frais et dépens dont est recours se fonde sur le droit public fédéral.

Tel est le cas. En effet si, suivant l'art. 56 al. 1er LAM, les cantons règlent la procédure du recours judiciaire formé en première instance contre les décisions de l'Assurance militaire, cette procédure doit respecter certains principes posés par le droit public fédéral. Ainsi, elle doit être autant que possible analogue à celle du Tribunal fédéral des assurances et, en principe, ne pas comporter de frais pour les parties (art. 56 al. 1er lit. a). Exceptionnellement (art. 56 al. 1er lit. f), les frais de justice peuvent être mis à la charge d'une partie lorsque le procès n'avait manifestement aucune chance de succès pour elle. Le coût d'une expertise judiciaire fait partie des frais de justice au sens de l'art. 56 LAM (ATFA 1951 p. 87; arrêt non publié L'Homme du 1er avril 1952).

La jurisprudence a créé une seconde exception au principe de la gratuité de la procédure: l'Assurance militaire peut devoir assumer les frais d'une mesure judiciaire d'instruction, par exemple d'une expertise, lorsqu'elle a failli à ses obligations en ne prenant pas cette mesure avant de rendre une décision qu'il y a lieu de qualifier d'arbitraire (ATFA 1952 p. 20). Cette jurisprudence mérite d'être maintenue. On pourrait aller plus loin encore, et, sans pour autant rendre l'assurance responsable de toute erreur d'instruction, admettre que la seconde exception au principe de la gratuité de la procédure se justifie dans des cas où, quoique la décision rendue ne puisse être qualifiée d'arbitraire, l'administration, en omettant une mesure d'instruction qu'elle aurait dû prendre et que le juge a ordonnée, n'a pas effectué le minimum qu'on était en droit d'attendre d'elle dans ce domaine, vu les circonstances (v. p.ex. RO 97 V 233; ATFA 1960 p. 350; 1955 p. 203; v. également ATFA 1955 p. 16; RCC 1971 p. 32). De toute façon, il ne serait pas normal que l'administration fédérale se décharge sur les cantons d'une partie des frais lui incombant en vertu de l'art. 11 LAM, qui lui prescrit d'élucider d'office les faits de la cause. Aussi bien le juge des assurances sociales attribue-t-il aux mesures d'instruction exécutées par les organes de l'assurance une valeur plus grande que le juge civil n'en accorde aux démarches entreprises unilatéralement par une partie pour prouver ses allégations. Quoi qu'il en soit, point n'est besoin de tracer aujourd'hui les limites exactes de l'exception jurisprudentielle au principe de la gratuité de la procédure, vu les circonstances de la présente espèce.