1. Le recours de droit administratifest dirigé contre le refus du Tribunal des assurances du canton de Berne d'entrer en matière dans un cas d'espèce ressortissant au domaine de l'assurance-invalidité, donc au domaine des assurances sociales. Il s'en prend ainsi à une décision d'irrecevabilité, au sens de l'art. 5 al. 1 lit. c LPA (cf. art. 128 et 97 al. 1 OJ).

La Cour de céans a déjà eu l'occasion de juger qu'était recevable un recours de droit administratif contestant l'application faite par l'autorité de première instance de règles cantonales, lorsque cette application est susceptible de violer des prescriptions du droit fédéral des assurances sociales. S'agissant d'une question de procédure, il est nécessaire d'entrer en matière pour vérifier si le droit fédéral (art. 85 al. 2, plus spécialement lit. b, LAVS) a été violé ou non en l'occurrence (RO 98 V 163 et la jurisprudence citée). Au demeurant, le Tribunal fédéral considère qu'un refus d'entrer en matière fondé sur le droit de procédure cantonal peut faire l'objet d'un recours de droit administratif, quand cette décision exclut l'application du droit fédéral (RO 98 I b 333).

2. Le recours formé devant une juridiction cantonale contre la décision d'une caisse de compensation est régi en principe, quant à la procédure, par le droit cantonal (art. 85 al. 2 LAVS et 69 LAI). Selon la loi et la jurisprudence bernoises, d'une part, les pièces de procédure doivent être rédigées en allemand ou en français, langues officielles du canton et, d'autre part, le tribunal peut déclarer irrecevable la demande ou le recours d'une partie qui s'absente pour un temps relativement long sans prendre de dispositions pour que des communications puissent être notifiées à son domicile. Ces principes ne sont point contraires aux quelques normes de droit fédéral imposées par l'art. 85 al. 2 LAVS. Ils ne heurtent pas non plus les grandes règles - parfois non écrites - qui dominent la procédure de tout Etat respectueux des droits de la personne.

Si ces normes sont indiscutables en soi, il en est autrement de l'application que le Tribunal des assurances du canton de Berne en a faite. En effet, ce dernier est parti de l'idée que le recourant Pedone avait quitté Berne sans avoir pris de dispositions quant aux notifications judiciaires auxquelles il devait s'attendre. En réalité, avant de s'absenter de Suisse, le recourant avait prévenu le tribunal de sa future adresse.

3. Il n'est pas évident, cependant, que le Tribunal fédéral des assurances ait qualité pour revoir en l'espèce l'application du droit cantonal. La difficulté ne provient pas tant de l'art. 105 al. 2 OJ, en vertu duquel le tribunal est lié par les faits retenus par la juridiction cantonale (car cette règle souffre une exception lorsque ces faits - comme c'est ici le cas - sont manifestement inexacts), mais surtout de l'art. 104 lit. a OJ, qui limite à l'observation du droit fédéral le pouvoir d'examen de la Cour de céans. Or, on l'a vu, le jugement attaqué repose sur l'application du droit cantonal.

Cependant, la notion de droit fédéral, dont la violation ouvre la voie du recours de droit administratif, englobe les droits constitutionnels. La jurisprudence a reconnu que le recours de droit administratif assume le rôle du recours de droit public à l'égard de violations des droits constitutionnels commises par l'autorité cantonale, dans les matières soumises au contrôle du Tribunal fédéral en tant que juge administratif (v. les arrêts du Tribunal fédéral au RO 96 I 184, consid. 2 p. 187, et 96 I 88, consid. 1 p. 89/90, ainsi que la doctrine et la jurisprudence qu'ils citent). Cela est vrai également du Tribunal fédéral des assurances, dans le domaine qui lui est propre (cf. art. 122 et 132 OJ et Droit du travail et assurance-chômage, bulletin de l'Office fédéral de l'industrie, des arts et métiers et du travail, 1971, p. 38, No 9).

Or, en l'occurrence, l'application erronée qu'a faite le Tribunal des assurances du canton de Berne d'une règle cantonale de procédure doit être qualifiée d'arbitraire, au sens de l'art. 4 de la Constitution fédérale, dont la protection s'étend aux étrangers (cf. AUBERT, Traité de droit constitutionnel suisse, ch. 1787 et 1831 à 1849, tome 2, pp. 645 et 658 à 663). N'est pas soutenable la décision qui déclare un recours irrecevable parce que le recourant n'a pas pu être atteint en une résidence qu'il a quittée en communiquant au juge son départ et sa nouvelle adresse. En effet, la règle cantonale applicable n'a pour but que d'épargner aux tribunaux des recherches ou des formalités fastidieuses pour correspondre avec les parties, alors qu'en l'espèce il n'aurait pas été difficile de communiquer avec l'intéressé, dont l'adresse à Alessano était connue.

En conséquence, il faut annuler le jugement attaqué.