A.- En janvier 1971, Indica Publicité S.A. à Sion (ci-après: Indica), a chargé Fidorsaz S.A., devenue ensuite Cofid S.A. à Sion (ci-après: Cofid), qui exploite un bureau fiduciaire, d'effectuer pour elle différentes tâches régulières d'administration. En mars 1971, Indica a également chargé Cofid de la gérer administrativement et financièrement.

A la même époque, Cofid a prêté à Indica 12'000 francs remboursables avec intérêts en 36 mensualités de 401 fr. 20 échues à la fin de chaque mois, du 31 mai 1971 au 30 avril 1974.

Les deux mandats de gestion ont été réalisés par Indica le 23 octobre 1971.

B.- Le 29 octobre 1971, l'Union de banques suisses (UBS) a établi et signé un contrat de cautionnement garantissant les engagements d'Indica envers Cofid; le contrat prévoyait notamment que:

"Le cautionnement est valable jusqu'au et y compris le 31 octobre 1972, et s'éteint automatiquement si le créancier ne fait pas valoir ses prétentions, selon art. 510 al. 3, du Code fédéral des obligations, dans l'espace de 4 semaines après l'expiration de ce délai et n'en informe pas la Banque par lettre recommandée dans le même délai. Si la créance n'est pas encore exigible à ce moment-là, la caution s'éteint néanmoins lorsque le créancier n'en donne pas connaissance à la Banque par lettre recommandée dans les 4 semaines, et ne lui déclare pas sa créance avec indication de l'échéance."

Ce cautionnement fut aussitôt remis par Indica à Cofid, qui l'a tacitement accepté.

C.- Le 3 novembre 1972, le conseil de Cofid a écrit à l'UBS; rappelant à cette dernière les engagements qu'elle avait pris en qualité de caution, il l'a informée sur une poursuite No 41.304 qu'il avait engagée contre Indica Publicité S.A., en liquidation. Il a précisé que cette poursuite n'ayant pas fait l'objet d'une opposition, la faillite de cette société avait été requise.

D.- Par jugement du 8 septembre 1981, le Tribunal cantonal valaisan a rejeté une demande en paiement de 12'000 francs avec intérêts à 5% dès le 20 juillet 1978, que Cofid a dirigée contre l'UBS en invoquant le cautionnement.

E.- Cofid a interjeté un recours en réforme contre cet arrêt; elle a conclu en substance à l'admission de sa demande, avec suite de frais et dépens.

Le Tribunal fédéral a rejeté le recours dans la mesure où il était recevable.

3. a) Selon l'art. 510 al. 3 CO, la caution qui ne s'est engagée que pour un temps déterminé est libérée, si le créancier ne poursuit pas juridiquement l'exécution de ses droits dans les quatre semaines qui suivent l'expiration de ce temps et s'il ne continue pas ses poursuites sans interruption notable.

Pour les motifs exposés ci-dessous, il suffit d'examiner en l'occurrence si, pour les créances échues à l'expiration du cautionnement, le créancier a continué ses poursuites sans interruption notable, au sens de cette disposition.

Dans l'arrêt ATF 64 II 191 ss, relatif à l'application de la disposition équivalente de l'art. 503 aCO, le Tribunal fédéral a considéré que la loi ne fournit aucune règle schématique concernant ce qu'il faut entendre par "interruption notable", mais, en tant qu'elle fixe à quatre semaines le délai pour agir ou poursuivre, elle donne néanmoins une indication concernant la période après l'expiration de laquelle on peut raisonnablement exiger du créancier qu'il se montre actif pour faire avancer la procédure; les circonstances particulières du cas peuvent toutefois rendre admissible une inaction plus longue; en outre, la caution peut elle-même consentir à des prolongations de la procédure.

Cette jurisprudence, approuvée dans l'ensemble par la doctrine (GIOVANOLI, n. 12 et 13 ad art. 510; BECK, n. 43 ss ad art. 510; GUHL/MERZ/KUMMER, p. 545/546; HEMMELER, Die Gründe für den Untergang der Bürgschaft, thèse Berne 1954, p. 52; SCYBOZ, Le contrat de garantie et le cautionnement, dans Traité de droit privé suisse, VII 2, p. 115 n. 7; cf., avec certaines réserves, OSER/SCHÖNENBERGER, n. 21 ad art. 510), doit être confirmée. Il en résulte que le créancier est tenu, à l'égard de la caution, à une diligence particulière, et que celle-ci ne saurait se mesurer uniquement selon le critère d'un créancier diligent défendant seulement ses propres intérêts. La surcharge de certains tribunaux, invoquée par la recourante, ne justifie pas en soi une modification de cette jurisprudence, mais elle peut être prise en considération dans l'examen des circonstances du cas d'espèce s'il est prouvé qu'une inaction prolongée n'a pas pu être évitée, en raison de cette surcharge.

b) Pour les acomptes en remboursement du prêt, d'un montant de 5'616 fr. 80, échus jusqu'au 31 octobre 1972, la cour cantonale constate en particulier que le créancier a été totalement inactif et que les actions en libération de dette les concernant n'ont connu aucun acte de procédure depuis le 20 juin 1974 - date du dernier mémoire-réponse de Cofid - jusqu'au 6 novembre 1974.

aa) La recourante ne conteste pas ces constatations de fait. Or, il est patent que cette durée excède ce qu'au regard de l'art. 510 al. 3 CO un créancier diligent doit tolérer, même si l'on tient compte des vacances d'été et du fait qu'après le dépôt de la dernière réponse il appartenait au juge d'agir. Ne recevant de ce dernier aucun acte, après trois ou quatre semaines, le créancier pouvait s'adresser à lui pour le prier d'activer la procédure.

bb) En revanche, la recourante prétend que, créancière, elle n'aurait pas été inactive à l'encontre de la débitrice Indica. Elle invoque "la demande de faillite d'Indica (...) sur la base de l'art. 725 CO" ainsi que "l'action en annulation de la décision de dissolution de la société", toutes deux en suspens ainsi qu'une déclaration d'insolvabilité selon l'art. 743 al. 2 CO. La cour cantonale relève, à juste titre, que de telles procédures ne sont point exercées à l'instance du créancier (la première concerne une déclaration d'insolvabilité du débiteur au juge - art. 192 LP, 725 et 743 CO -, la seconde, une action interne à la société, appartenant à un actionnaire contre la société - art. 706 CO) et qu'elles ne dispensent pas le créancier diligent du soin de poursuivre le débiteur sans relâche important, s'il désire pouvoir se retourner contre la caution.

cc) La recourante invoque encore les poursuites engagées par elle du 26 octobre 1973 au 6 novembre 1974 en recouvrement des acomptes échus sur le prêt.

Il est patent que de telles poursuites ne concernaient que les créances qui en faisaient l'objet et ne pouvaient être considérées comme la poursuite diligente par le créancier, du débiteur, pour ses autres créances.

Il faut donc admettre, avec la cour cantonale, la péremption du cautionnement pour cette (ces) créance(s).

4. Conformément au jugement cantonal, les créances non exigibles le 31 octobre 1972 s'élevaient à 7'221 fr. 60.

Selon l'art. 510 al. 4 et 5 CO, en cas de cautionnement conclu pour un temps déterminé, lorsque la dette n'est pas exigible à l'expiration de ce délai, la caution qui ne se libère pas en fournissant des sûretés réelles, demeure liée comme si cet engagement avait été convenu jusqu'à l'exigibilité de la dette.

En l'occurrence, le contrat de cautionnement conclu entre parties contient à ce sujet une disposition particulière.

En effet, pour les créances non exigibles le 31 octobre 1972, date d'expiration, le contrat de cautionnement subordonne le maintien du cautionnement, au-delà de cette date, à une annonce faite par le créancier à la caution, dans un délai de quatre semaines dès le 31 octobre 1972, sous forme de lettre recommandée indiquant la créance et son échéance.

a) A tort, la recourante met en doute la légalité d'une telle clause. Celle-ci relève de l'autonomie de la volonté (art. 19 CO) qui, sur ce point, n'est restreinte par aucune disposition légale, dès lors que la clause limite l'engagement de la caution, dans l'intérêt de celle-ci (art. 492 al. 4 CO a contrario; cf. GIOVANOLI, n. 85 ad art. 492; SCYBOZ, op.cit., p. 41).

b) La recourante prétend aussi à tort que la clause ne serait pas claire et devrait être interprétée contre son rédacteur. Elle joue sur les mots en soutenant que, dans l'expression "la caution s'éteint" figurant dans le contrat, le mot "caution" désignerait la personne du débiteur de l'obligation issue du contrat de cautionnement et non point cette obligation; cette interprétation méconnaît non seulement le sens clair de la phrase, mais aussi l'acception du mot caution en français, qui désigne soit une garantie, une assurance, un engagement, soit la personne qui s'engage par cautionnement (cf., par exemple, P. ROBERT, Dictionnaire de la langue française, vo caution). Il faut dès lors admettre avec la cour cantonale, que l'absence d'annonce a eu pour effet d'éteindre le cautionnement en tant que son objet était de garantir des créances non échues le 31 octobre 1972.