2. En vertu de l'art. 7 CPC, les cantons peuvent instituer un tribunal qui statue en tant qu'instance cantonale unique sur les litiges portant sur les assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale selon la LAMal. Le canton du Valais a fait usage de cette possibilité. Selon l'art. 5 al. 1 let. a de la loi d'application du code de procédure civile suisse du 11 février 2009 (LACPC/VS; RS/VS 270.1), le Tribunal cantonal valaisan connaît en instance cantonale unique des affaires civiles relevant des art. 5, 7 ou 8 CPC. L'art. 2 de l'ordonnance du 13 mars 1996 désignant les autorités et les procédures en matière d'assurance maladie (RS/VS 832.100), modifié par l'art. 10 ch. 14 LACPC/VS, précise, sous le titre "assurances complémentaires", que le Tribunal cantonal connaît en tant qu'instance cantonale unique les litiges relatifs aux assurances complémentaires au sens de l'art. 12 al. 2 LAMal (al. 1) et que le CPC est applicable (al. 2).

2.1 En l'espèce, est litigieux le point de savoir si l'art. 7 CPC permet aux cantons de ne soumettre à la connaissance d'une instance judiciaire unique qu'une partie des contestations relatives aux assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale. Il s'agit là d'une question de droit fédéral que le recourant ne soulève pas explicitement, mais qui se pose nécessairement à titre préalable; la cour de céans peut donc l'examiner d'office et librement (art. 42 al. 2 et art. 106 al. 1 LTF; cf. ATF 140 III 86 consid. 2 p. 88 s., ATF 140 III 115 consid. 2 p. 116).

La formulation de l'art. 7 CPC correspond à celle de l'art. 6 CPC, lequel permet aux cantons d'instituer un tribunal de commerce statuant en tant qu'instance cantonale unique sur les litiges commerciaux. Le Tribunal fédéral a jugé que lorsqu'un canton fait usage de la possibilité d'instituer un tribunal de commerce, l'art. 6 CPC règle de manière exhaustive la compétence matérielle pour les litiges répondant à la définition de l'art. 6 al. 2 CPC (ATF 140 III 155 consid. 4.3 p. 157 s.).

Aucun motif ne justifie de retenir une solution différente en matière d'assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale. En particulier, le texte clair de l'art. 7 CPC ne prévoit aucune possibilité d'un transfert partiel de compétences à l'instance unique désignée par le droit cantonal. On ne discerne d'ailleurs pas l'intérêt qu'il y aurait à instaurer deux régimes de compétence matérielle pour les litiges civils relatifs aux assurances complémentaires, notamment selon que l'assureur est ou n'est pas une caisse-maladie au sens de l'art. 12 al. 1 LAMal. L'art. 7 CPC n'offre ainsi aux cantons qu'une alternative: soit instituer une autorité judiciaire statuant en instance unique et lui soumettre tous les litiges mentionnés dans cette disposition, soit renoncer à une telle juridiction spéciale et en rester au régime ordinaire avec deux instances cantonales.

Le canton du Valais a clairement opté pour une juridiction statuant en instance cantonale unique (art. 5 al. 1 let. a LACPC/VS). Il en découle que, de par le droit fédéral, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal est compétente pour connaître de la présente cause.