1. Comme le relèvent avec raison les juges cantonaux, le recourant, ressortissant britannique, domicilié en Suisse et n'exerçant son activité professionnelle ni en Suisse ni dans son pays d'origine, est soumis au droit suisse des assurances sociales (art. 5 al. 2 de la convention de sécurité sociale entre la Suisse et le Royaume-Uni de Grande-Bretagne et d'Irlande du Nord, du 21 février 1968).

2. a) Il est constant que l'employeur du recourant n'a pas d'établissement stable en Suisse. Il n'est donc pas tenu de payer des cotisations (art. 12 LAVS). En conséquence, les cotisations du recourant se calculent selon l'art. 6 LAVS, qui fixe les cotisations des assurés dont l'employeur n'est pas tenu d'en payer. Ces salariés sont traités par la loi comme des assurés de condition indépendante: le taux de leurs cotisations est identique (cf. art. 6 et 8 LAVS), de même que le sont les conditions de réduction et de remise de celles-ci (art. 11 LAVS); ils peuvent également déduire tous les frais généraux nécessaires à l'acquisition du revenu (ATFA 1958 p. 184). On peut donc affirmer que la loi les assimile aux assurés exerçant une activité lucrative indépendante (MAURER, Sozialversicherungsrecht, vol. II pp. 139 et 142 s.).

b) Partant de cette similitude de situations, le Tribunal fédéral des assurances a jugé que la procédure de fixation des cotisations selon les art. 22 ss RAVS, prévue pour les personnes exerçant une activité indépendante, pouvait également s'appliquer aux salariés d'employeurs non tenus au paiement de cotisations (RCC 1970 p. 378). Dans cet arrêt, il a toutefois admis - implicitement du moins - que les caisses de compensation demeuraient libres, conformément à la pratique administrative, de choisir, pour cette catégorie d'assurés, le mode de fixation des cotisations et qu'elles pouvaient en conséquence se fonder sur une attestation de salaire de l'employeur ou sur les déclarations de l'assuré, ou encore sur une communication du fisc (cf. ch. 51 des directives de l'Office fédéral des assurances sociales sur la perception des cotisations, valables dès le 1er janvier 1982). Les erreurs successives de la caisse intimée dans la présente cause démontrent toutefois qu'il est préférable que les caisses de compensation se fondent, en pareil cas, sur la taxation fiscale des intéressés plutôt que de procéder elles-mêmes à de nouveaux calculs. Des exigences d'ordre pratique commandent également une telle solution. En effet, comme le relève à juste titre le recourant, il est inutilement compliqué et peu logique que les bases de taxation soient arrêtées différemment par le fisc et par les organes de l'AVS. Au surplus, il ne se justifie pas de faire des distinctions, selon le pouvoir discrétionnaire de l'administration, au sein de la même catégorie d'assurés. C'est pourquoi, contrairement à ce qui est dit dans l'arrêt publié dans la RCC 1970 p. 378, il y a lieu d'appliquer de façon générale, dans le cas des salariés au service d'employeurs non astreints à payer des cotisations, la procédure de fixation des cotisations instituée par les art. 22 ss RAVS. Demeurent cependant réservées les situations particulières - dont il n'a pas à être jugé ici - où les circonstances exceptionnelles justifieraient une autre méthode, par exemple un prélèvement des cotisations à la source.